AB + BC — AC
aABxBC
COJ B R X
sLvi. Soient A, B, C, les trois angles d’nn triangle ({aelconqne; a, b, c, les côtes qni leur sont respectivement opposés, on aura , s^n^'ant cette dernière
• TMltOIfOMÉTIIE.
• ' rt’ -4-e’— î-6‘
proposition cos B =R. . Le même princi]>e
étant applique à ehacun des deux autres angles , doo-
nert seiiibiablement cot A = R a' -^-b‘ — c’
Ces trois formules suffisent seules pour résoudre tous .. les ]>robl(-mes de la trigonométrie rectiligne ; rar étant données trois des six quantités ona par
Ces formules les équations nécessaires ponr déterminer les trois autres. 11 faut par conséquent que les piincipes déjà exposés, et ceux qu'on pourrait leur ajouter, ne soient qu'une conséquence de ces trois formules principales.
En effet, la valeur de cos B donne. .. . . ... . >
„ ka'c' — (a’-H:*— R*
sût' B=rR'— cor’ B=R*.^^^ — .r/
4 à* c‘ ka'c'
(aa’i’-|-a<r‘c’-J-aA’ c'—a* — b* — c* ); donc
Ru. ^
—7— =2 abc **^- 4 -»“’ c'-4-a*’ c' — a* — b* — c^)
Le second membre étant une fonction de <j, b, cj dans laquelle ces trois letties entrent toutes également, il est clair qu’on peut faire la permutation de deux de ces lettres
• , , ... «'«B sin A sm C
• a volonté, et qu ainsi on aura — 7 — =■ =: , ce qui
, bac
. est le principe du n° xliv. Et de celui-ci s« déduiraient
facilement les principes des n« ti.ii et xliii. '
* . ^ xi.vii. Dans tout triangle rectiligne la somme
de deux côtés est à leur iliffèrence comme la
tangente de la demi-somme des angles opposés
à ces côtés f est à la tangente de la demi-dîDé-
rence de ces mêmes angles.
Car «le la proportion AB AC :: sin C : sin B, on tire AC -I- AB : AC — AB : : sin B sin C : sin B — sin C
kB(iTIt.t 6 irS. ' 375
Mais , d’après les forraiiles de l'art, xxix , on a
un B+«'/i C ; un E~-sin C ;; t»ng ‘ tang ;
donc
B+C B— C '■ AC+AB ; AC — AB :: tang — — ; tang ■ ;
ce qui est le principe énoncé.
Avec ce petit nombre de principes , on est en état de résoudre tous les cas de la trigonométrie rectiligne.
Résolution des triangles rectangles.
xtvm. Soit A l’angle droit d’un triangle rectan- . gle proposé, B et C les deux autres angles; soit a l’hypoténuse b le c 6 té opposé à l’angle B , et c le cdté opposé à l’angle C. Il faudra se rappeler que les deux angles B et C sont compléments l’un de l’autre , et qu’ainsi , suivant les différents cas , on peut prendre sin C — coj B, sin B=cos C, et pareil.’ lement uing B=zcof C, tang G=cot B. Cela posé, les différents problèmes qu’on peut avoir à résoudre sur les triangles rectangles se réduiront toujours aux quatre cas suivants.
,, PEEKlEaCAS.
XL IX. Étant donnés V hypoténuse a et un côté b, trouver le troisième côté et les deux angles aigus. ,
' Pour déterminer l’angle B, on a la proportion* a: b :: R : sin B. Connaissant l’angle B, on connaîtra en même temps son complément 100" — B = C; on pourrait aussi avoir C directement par la proportion a : è ;; R : cos C. . '
Quant au uroisièroe côté .c, il peut se trouver de
'UHI.
3^6 THIGOIfOMÉTIIlB.
deux manières. Après avoir trouvé l’angle B , on peut faire la proportion* K : cot B b : c, qui don-, nera la valeur de c; ou bien on peut tirer directe- • ment la valeur de c, de l’équation c' — a' — b' qui donne c=\/ (a’ — b'), et par conséquent
logc=^log{a + b)-i-{log(a — b).,.
DBDXIEME CAS.
!.. Étant donnés les deux côtés h et c de V angle droit , trouver l'hypoténuse a et les angles.
On aura l’angle B par la proportion * c : A :: R'i tang B. Ensuite on aura C=ioo“ — B. On trouverait aussi G directement par la proportion b ic y, R : tang C.
Connaissant l’angle B , on trouvera l'hjpoténuse par la proportion sin B : R ;; A:a; ou bien on peut avoir a directement par l’équation a = v/(^’-j-c*); mais cette expression , dans laquelle b' 4- c* ne peut se décomposer en facteurs, est peu commode pour le calcul logarithmique.
TEOISIEME CAS.
Li. Etant donnés l'hypoténuse a et un angle B , trouver les deux autres côtés b ef c.
On fera les proportions R : B :: a : é , R : cos B : :
a'.c, lesquelles donneront les valeurs de A etc. Quant à l’angle C, il est égal au complément de B.
QUATBIEME CAS.
Lit. Etant donné un côté b de l'angle droite avec l’un des angles aigus, trouver V hypoténuse et l’autre côté.
Connaissant l’un des angles aigus on connaîtra l’autre, ainsi on peut supposer connus le cAté b, et
l’angle opposé B. Ensuite , pour déterminer a et c, on aura les proportions
. . sin B : R R : cor B :: b \c. • .
Résolution des triangles rectilignes en général.
Soient A, B, G, les trois angles d’un triangle rectiligne proposé, et soient a, b, c, les côtés qui leur sont res^ pectivement opposés : les différents problèmes qui peuvent avoir lieu pour déteiminer trois de ces quantités par le moyen des trois autres, se réduiront tou> jours aux quatre cas suivants.
PHEMIEB CSS.
Mil. Etant donnés le côté a et deux des angles du triangle, trouver les deux autres côtés b et c.
Les deux angles connus feront connaître le troi* sième , ensuite on trouvera les deux côtés b etc par les proportions*,
sin A : sin B :: a : b. • ‘
. ' • ‘sinA '. sinC, n : c. - .
DBUXIÈMB CA S.
Liv. Etant donnés les deux côtés a et h, avec l'angle A opposé à l'un de ces côtés, trouver le troisième côté c et les deux autres angles B et C.
On trouvera d'abord l'angle B par la proportion n : ô :: sin A : sin B.
Soit M l’angle aigu dont le sinus = ^ - , on
pourra , d’après la valeur de itW B, prendre ou B=M ou B = 100° — M. Mais ces deux solutions n’auront lieu qu’autant qu’on aura à la fois l’angle A aigu et &>a. Si l’angle A est obtus, B ne saurait l’étre*
T IICOHOII^TBIB.
ainsi il n’y aura (pi’une solution; et 'si A ëtant aigu on a b < il n’y aura non plus qu’une solution, p&rce qu’alors on a M < A , et qu’en faisant B = aoo" — M , on aurait A -|- B > aoo" , ce qui ne peut avoir lieu.
Connaissant les angles A et B, on en conclura le troisième G. Ensuite on aura le troisième cdtë c par la proportion •'
• sin A : sin C •; a ; c.
coi A
