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‘ , b eos a f b* sin’ A.\
•,quidonnec — l-v/t a' — ■ J.
Ou |>«ut aussi déduire c directement de l’équation
Mais cette valeur ne peut se calculer par logarithmes qu’au moyen d’un angle auxiliaire M ou B, ce qui rentre dans la solution précédente.
TBOISIKME CAS.
Lv. Etant donnés deux côtés n eth avec l’angle^ compris (> , trouver les deux autres angles A et B.éf^ le troisième côté c.
Connais.sam l’angle C, on connaîtra la somme des deux autres angles A B = aoo" — C et leur demisomme-; (A-J- B)=rioo“ — -j-C. Ensuite on calculera la demi-différence de ces mêmes angles par la' pro- . jrorrion*
a-\-h',a~—b fang^^A B) ou cor-jC î tang\ (A— B) où l’on suppose <r> & et par conséquent’A > B.
Ayant trouvé la demi-différence ^ (A — B), si on l’ajoute à la demi-somme j (A-+-B), on aura le plus grand angle A; si au contraire on retranche 1a demidiffcrence dé la demi-somme, on aura le plus petit angle B. Car, A et B étant deux quantités quelconques, on a toujours
B=f{A + B)-f{Aj-B
SBCTIMGITB. 879'
r^es angles A et n étant connus, pour avoir le troi' sîème côté c, on fera la proportion sin A : sin C :: a : c.
Lvi. Il arrive souvent dans les calculs trigonométriques que deux côtés a et b sont connus par leurs logarithn>es i alors pour ne pas être obligé de chercher les deux nombres ' correspondants , on cherchera seulement l’angle ip par la proportion b : a y R : tangrf. L'anglef sera plus grandque 5o", puisqu'on suppose a >ô; retranchant donc So° de f on fera la projM)rtion R : tang — 5o“ ) :: cotj C ; tang — B), d'où l’on déterminera comme ci-dessus la valeur de A — R), et ensuite celles des deux angles A et B.
Cette solution est fondée sur ce que (f — 5o“)cr:
R* ranf 9 — R’rang^5o°. nR r o i>
— » nr tango — -. — etfn/^5o“ = R;
’ R’ -<-rflng9fa/^5o® ' b
donc tang{o — 5o“)=: » donc a-\-b‘.a — ô;:R;
tang{^ — 5o“) :; col -j C : tong ' 7 (A — B).
Qnant au troisième côté c , il peut se trouver directe*
ment par l’équation
cosC — c*
, qui donne e=
a'-p-é*. — aoôcofC^^ Mais cette valenr n’est pas commode à calculer par logarithmes , à moins que les nombres qui représentent a, b, et eos C , ne scient très-simples.
Il est à remarquer que la valeur de c peut aussi se mettre sons ces deux formes : c=
-|-4aô
cw’iCI
ce qui se vérifie aisément au moyen des formules stn'^ C = 7 -H’ — ;R cos C, f<M* 7 C=v R* -t- 7 R cos C. Ces valeurs seront particulièrement utiles, lorsque l’angle C étant trèspetit, ainsi que a — b, on voudra calculer c avec beaucoup de précision. 1.41 dernière fait voir que c serait l’hypoténuse
sin 7 C
d’un triangle rectangle formé sur les côtés {a-\-b — j —
D;„ :i2ed : . GoogU
TKICONOM BTRIS.
et (u—b)
coi^C
et c'est ce qu'on peut aussi trouver par
une construction fort simple.
Soit CAB le triangle proposé dans lequel on connaît lea deux côtés CB=<s, CK—b, et l’angle compris C. Du point C comme centre et du rayon CB égal au plus grand des deux côtés donnés , décriver une circonférence qui rencontre en D et E le côté CA prolongé; joignez BD, BE, et menez AF perpendiculaire à BD. L’angle DBE inscrit dans la demicirconférence sera un angle droit , ainsi les lignes AF, BE, seront parallèles, et on aura la proportion BF : AE :: DF : AD tt cos D;R. On aura aussi dans le triangle rectangle DAF , AF : DA sm D : R. Substituant donc les valeura DA=DCH-CA=ra-fA, AEr=CE— CA=o— ô, D=^C, on aura v
Af(^+*)« 2^ (a ô)co^
Donc en effet le troisième côté AB du triangle proposé est l'hypoténuse du triongle rectangle ABF, dont les côtés
, . . sm ~ C , cos •; C
sont (a-f-ô) — ^ — et (^a~b ) — — — . Si dans ce même
triangle on cherche l’angle ABF opposé an côté AF, et qu'on en retranche l’angle CBDzr^C, on aura l’angle B du triangle ABC. De-li on voit que la résolution du triangle ABC , dans lequel on connaît les deux côtés a et ô et l’angle compris C , se réduit immédiatement à celle du triangle rectangle ABF, dans lequel on connaît les deux
côtés de l’angle droit , savoir : AF ( a ô )
sut 4 : C
BF = (a— ô)
coriC
Ainsi , par cette construction , on
pourrait se passer de la proposition du n® 47.
QnaTBiKME cas.
Lvn. Etant donnas les trois côtés a, b,c, trouver les trois angles A , B , C.
I/angle A , opposé au côté a , se trouve par la for-
KECTILIGRB.
KECTILIGRB. 38l
mule C 05 A = R.^ et on déterminera sem-
3 bc
hlablement les deux autres angles. Mais on peut résoudre ce même cas par une formule plus commode pour le calcul logarithmique.
Si on se rappelle la formule R’ — R roj A =
a sûi* ^ A, et qu’on y substitue la valeur de
A -..AD* — c’4-a*c
C05 A, on aura a sm 7 A = H . — —
a be
R. a’—jb—cy (a + 6— c) {a — b + c)
3 bc
3 bc
Uonc
sin
sin ;A=Ry/ : — iy boit, pour
abréger {a b + c) =z p , ou a + b c=^ p , on auraa-|-^ — c=.^p — ac,o — b-^c-=!ip — a &;donc
iA = Rv/((£^iM). ^
Formule qui donne aussi la proportion
bc'.i^p — b'){^p — c) : ;R* :ji»’ - j A jV
et qui est facile à calculer par logarithmes. Connaissant le logarithme de sin ^ A, on connaîtra 7 A dont le double sera l’angle cherché A. On pourra faire de même par rapport à chacun des deux autres angles B et G.
Il y a d'autres formules également propres à résoudre la question. Et d’abord la formule R* R cos A —
. , i* -4-c* -J -3 6c — fl*
a c<w 7 A donne coi»* f A“R*. ; = R*.
• 4 bc
= R-. Mai. en
46c b bc
faisant toujours a -p6-|-c=:a/' , on a b-\-c—a—%p — aa;
donc
^ ^ - rw-7 A — i\i^ I
38^ tkioo jfoiÉé*»iÈ
Celte yaleur ëtant ensuite combinée ayec celle de sin^k
R tin { A
donnera une autre formule, car ayant tang'Lk — .
on en tire
