L. BC
Donc la tlistance cherchée BC= 1 ia4“. 66 .
( 1 ) Il poarrait arrÎTer qne les qnaire poinis A , B, C ,D, ne fussent pas dans nn même plan ; alors l'angle BAC ne semit pins la dilKrenea .entre BAI) et DAC, et il fandiaii avoir, par une mesure directe, la ralenr de cet angle: i cela prés ,. l'opération serait la même.
liSCTI LIGNE. 385
Lxi. ‘Exemple IV. Trois points A, B, C, étant donnés sur la carte d’un pays , on propose de déterminer la position d'un quatrième point M , d’où on aurait mesuré les angles AMB, AMC; les quatre points étant supposés dans le même plan.
Sur AB décrivez un segment AMDB , capable de l’angle donné BM A j sur AC , décrivez pareillement un segment AMC capable de l’angle donné AMC; les deux arcs se couperont en A et M, et le point M sera le point requis. Car les points de l’arc AMDB sont les seuls d’où l'on puisse voir ,\B sous un angle égal à AMB; ceux de l’arc AMC sont les seuls d’où l’on puisse voir AC sous un angle égal à AMC; donc le point M, intersection de ces deux arcs, est aussi le seul d’où l’on puisse voir à la fois AB et AC sous les angles AMB, AMC. 11 s’agit maintenant de calculer trigonométriquement la position du point M, d’après cette "construction.
Soient les données AB = a 5 oo“, AC==yooo“, BC^ÿooo™, AMB = 3 o" 8o', AMC = 121" 4 o*.
Dans le triangle ABC , où l’on connaît les trois côtés, on déterminera l’angle BAC* par la formule
s/n’ 7 .A = R’. ; d’où l’on tire a logsin~A=
19.9384483, /og's//i7A=y.y69aa4i ,7 A=y 6 “ 3 i ‘. 5 » et enfin A=i 5 a'* 63 '. Tirez le diamètre AD et joignez DB ; dans le triangle BAD rectangle en B, on aura le côté BA — aSoo , et l’angle opposé BDA =^BMA = 3 o'’ 80'; d’oii résulte l'hypoténuse AD
= 5374*” • 6 . Tiiaiii do même le diamètre
AE et joignant CE, on aura un triangle rectangle CAË dans lequel on coiinai't le côté AC ^ 7000 , et
. tàlGOROlIBVfttS
l’flngle adjacent CAE=AMC — foo"==ai®4o'î
l’on conclura AEn=^-^^^ = 74*5“cos r.AF. ' ’
Maintenant si l’on tire MD et ME , les deux angles AMD, AME, étant droits, la ligne DME Sera droite, il reste donc à résoudre le triangle DAE dans lc(|iicl la ligne AM, dont il faut déterminer la grandeur et la position, est perpendiculaire à DE. Or, dans ce triangle on a les côtés donnés AD = 5374-^1 AE = y4t5, et l’angle compris DAE=BAC -f- CAE — DAli=io4”83'. De-làon conclura l’angle ADE= 56” 93 ' ; et enfin par le triangle rectangle DAM on aura AM=r. 4 i 90 ‘°. 83. Cette distance et l’angle BAM = 112 " 27 ' déterminent entièrement la position du point M.
Nota. >Si on -veut calcnler les mêmes exemples au mojen des tables construites suivant l'ancienne division du cercle, il faudra changer comme il suit l'expression des angles donnes on calculés; du reste toutes les valeurs logarith- ’miques et celles des cétés resteront les mêmes.
Exem/tie 1. Angle donné BCE= 4 i“ 4 ' 33 '. 6, ou simplement BCE=/) 1" 4 ' 3 o', car dans ces sortes d’opérations, quelques secondes de plus ou de moins dans les angles, n’inOueiit pas sensiblement sur les distances qu'on veut déterminer.
Ex. 11. Angles donnés BAJLlïs: loi" 55 ' 55 ". a, BDAsSâ" 4' 19". a, ABD=V 59' 45". 6 ,CaD = 35 “i 5 ' lo '.8, ADC= 119“ 3 a' 49". a. '
£r. III. Angle donné B AC = 68" 40' 44". 4, ' ■
Angle conclu i(B + C) = 55 ‘’ 39' 37”. 8.
Angles calculés t (B — C) = a9® 8' a4". 7 B = 84" 48’ a". 5 , C=a6® 3 i' i 3 ". I.
Ex. IV. Angles donnés AMB = a7" 43 ' la", AMC=I09® i 5 ' 36 ", Angles calculés A = 137* aa' i". a, DAE=94* »o' 49",a® BAM = ioi® a' 34 ". 8.
Digiti^
ifcii&jiiQtià. 3Ô;
' Principes pour la résolution des triangles sphériques rectangles.
Lxn. Dans tout triangle sphérique rectangle, le rayon est au sinus de P hypoténuse, comme le sinus d’un des angles obliques est au sinus du côté opposé.
Soit ABC le triangle sphérique proposé , A son angle droit , B et G les deux autres angles que nous appellerons angles obliques , et qui cependant pourraient être droits l’un ou l’autre, ou tous les deux; je dis qu^on aura la proportion R ; sin BC : ; sin B : sin AC.
Du centre O de la sphère , menez les rayons OA , OB , OC ; prenez ensuite OF égal au rayon des tables , et du point F menez FO perpendiculaire sur OA ; la ligne FD sera perpendiadaire au plan OAO, puisque, par hypothèse, l’angle A est droit, etqu’ainsi les deux plans O AB , QAC sont perpendiculaires entre eux. Du point D menez DE perpendiculaire sur OB , et joignez EF ; la ligne EF sera aussi perpendiculaire sur OB » et ainsi l’angle DEF mesurera l’inclinaison des deux pUns OBA , OBC , et sera égal à l’angle B du triangle ABC. Cela posé dans le triangle DEF rectangle en D , on a U. : sin DEF :: EF : DF ; or l’angle DEF=r B, et puisque OF =R , on a EF =sin EOF =sin BC , DF— sin AC. Donc R : sin B sin BC : sin AC, ou
‘ R : sin BC :: sin B : sin AC.
Si on appelle a l’hypotén use ou le cêté opposé à l’angle droit A, 6 le côté opposé à l’angle B, c le côté opposé à l’angle C , on aura donc
' R ; sin a .: sin B : sin b .: sin G : sin c, ce qui fournit déjà deux équations entre les parties du triangle sphérique recungle.
Ig. 10.
388 TBieoROiiiTiux
txiii. Dans tout triangle sphérique rectangle" le rayon est au cosinus d’un angle oblique , comme la tangente de l’hypoténuse est à la tangente du côté adjacent à cet angle.
, Soit toujours ABC le triangle proposé rectangle en A, je dis qu'on aura R ; cos B :: tisng BC : long AB.
Car en faisant la même construction que ci-dessus,
le triangle rectangle DEF donne la proportion
R : cos DEF EF : ED. Or on a DEF = B, EF =
sin BG, OE — COJ BC , et dans le triangle OED
' X T7 T\Tf O E tang D O E
rectangle en E , on a D E = ^ =
cou EÇ. tang k.E „ • nr-
—-5 — ; donc R : coj B :: sw BC^
6g. lo.
: tang AB, ou enfin
cot^C tang A.E R ///i BC R ” cor BC
R : COJ B BC : AB.
'Si on fait comme ci-dessus BCi=a et AB=: o on. aura R : cos B :: tang a : tang c , cm cos B =
Etang c tangccota . » ‘ * ■* i*
• tanga ~ — ^^"R même principe appliqué à l’angle . C , donnera "cos C = —
tang b cot a . •■ ■
ixiv. Dans tout triangle sphérique rectangle le rayon est au cosinus d’un, côté de V angle droit, comme le cosinus de Vautre côté est au cosinus de l’hypoténuse. . . '
Soit ABC le triangle proposé rectangle en A', je dis qu’on aura R: cos AB cos. AC :: cos BC.
Car la construction étant là même que, dans les deux propositions précédentes , le triangle ODF rectangle en D , où l’on a l’hypoténuse OF = R , on aura OD — coj DOF=^coj AC; ensuite le.
Di..;;;
iPHBKIQOB. ' 38{)
triangle ODE rectangle en E , donnera O E =:l
OD eos DOE cos AC cos AU i i
= . Mais dans le tnan-
gle rectangle OEF, on a OE = cos B G ; donc cos A C cos A B
qui
ou , ce
revient au
cos B C = même,
R : cos AC :: cos AB : cos BC.
Ce troisième principe s’exprime par l’équation R cos a = cos b cos c; il n’est pas susceptible d’en fournir une seconde , comme les deux précédents > parce que la permutation faite entre b cl c n’apporte aucun changement k l’équation.
LXT. Au moyen de ces trois principes généraux, on en peut trouver trois autres nécessaires pour la résolution des triangles sphériques rectangles. Ces derniers principes pourraient se démontrer directement , chacun par une construction particulière > mais il est préférable de les déduire des trois premiers par voie d’analyse , ainsi qu’on va le faire.
K sût b R tane h
— , cos C = 2-
sin a tanga
cos C * tang b sin a
Les équations sin B=donnent par leur division
sin B sin b tang a
cos a , . ... cos c „
= ( suivant le troisième principe ) — — . On
cos b ' , , ‘ ‘ ' R
a donc ce quatrième principe '
sin B : cos C : : R : cos c ,
duquel résulte aussi par la permutation des lettres sin C : cos B •: R : cos b.
Le sin B : :
sin B
premier R sin h
et le second principe donnent
cot B
ou
sin a ' tang B
cos
B = ^ ; de là on déduit
tanga
sin b tang a R sin b
sin a tang c cos a tang c
(en vertu du troisiènte pnncipe}
cos b cos c tangc
3y(> TMIGOHOM AtR IB
tf)rt£^ Donc on a pour cinquième principe l’équaiin c
,, R tang b 1* 1 ■
tion laiiÿ B = — T— ^ , ou 1 analogie
Il : tang B : : sin c : tang b ;
d’oü résulte aussi par la perniuUtion des lettres:
Il : long C, y. sin b : tang c.
Enfin ces deux formules donnent tang B tang C =
R iang b tang c R ^ vertu du troi-
tin b iin c cos b cos. c
sième principe) Donc R' =cos a tang B tatigÇ.^ '
ou col B col C R cos a , ou
tang B : col C :: K : cos a.
C’est le sixième et dernier principe : il n’est pas susceptible de fournir une autre équatiol:, parce que la permutation entre C et R n’y produit al.cun changeméid.
Voici la récapitulation de ces six principes dont quatre donnent cbacun deux équations i
l. R sin b = sin a sin B > R sût c =. sin a sin C II. R tang b Sang a cos C , R.tangcz=tangarosh
m. R cos a = cos b cos c,
' IV. R cas B = sin C cos ^ , R cos C — sin B cos c
