VI. R cos a=z cot 6 col C

11 en résulte dix équations contenant toutes les relations qui peuvent exister entre trois des cinq éléments B, C, a, b, c; de sorte que deux de ces quantités élant connues àvec l’angle droit, on connaîtra immédiatement la troisième par son sinus, son cosinus., sa tangente ou sa cotangente.

i.xvi. 11 est à remarquer que lorsqu’un élément sera déterminé par .son sinus seulement , il y aura deux valeurs de cet élément, et par conséquent. deux triangles qui satisleront à la question. Car le mênie^

* SPtlBBlQOE. 391

sîiius qui convient à un angle ou à un arc, convient aussi à son supplément. Il n'en est pas tle même lorsque l’élément inconnu sera déterminé par son cosinus, sa. tangente ou sa cotangente. 41 ors on pourra décider, par le signe de cette valeur , si l'élément dont il s’agit est pliis grand ou plus petit que 100" ; l’élément sera plus petit que loo", si son co.sinus , sa tangente ou sa cotangente a le signe + ; il .sera plus grand que loo" , si l’une de ces lignes a le signe — . On pourrait aussi établir sur ce sujet des préceptes généraux qui ne .seraient que des conséquences des six équations démontrées.

Par exemple, il résulte de l’équation R cos a = cos b cos c, que les trois côtés d’un triangle sphérique rectangle sont tous moindies que 100" , ou que des trois côtés deux sont plus grands que lou" , et le troisième moindre. Aucune autre combinaison ne peut rendre le signe de cos b cos c pareil à celui de cos a , comme cette équation l’exige.

De même l’équation R tang c — sin b long C , où sin b est toujours positif, prouve que tang C a toujours le même signe que tang c. Donc dans tout triangle sphérique rectangle un angle oblique et le côté qui lui est opposé , sont toujours de la même espece; c’est’à-dire , sont tous deux plus grands ou tous deux plus petits que 100”.

Résolution des triangles sphériques rectangles.

Lxvii. Un triangle spliérique peut avoir trois angles droits, et alors ses trois côtés sont de 100" ; il peut avoir deux angles droits seulement, alors les côtés opposés sont tous deux de loo" , et il reste un angle avec le côté opposé qui sont mesurés l’un et l’autre par le même nombre de degrés. Ces deux sortes de triangles ne peuvent, comme on voit, donner lieu à aucun problème i on peut donc faire abstraction de ces cas parti-

r B ICO ROHÉTRI X

culieis , pour ne considérer que les triangles qui ont un angle droit seulement. ,

Soit A l’angle droit, fi et C les deux autres angles qu’on appelle angles obliques, soit a l’Hypoténuse opposée à l’angle A , ^ et c les côtés opposés aux angles fi et C. Etant données deux des cinq quantités fi, C, a, b, c, la résolution du triangle se réduira toujours à l’un des six cas suivants.

PREMIKB CAS.

Lxviii. Etant donnés l'hypoténuse a'et un

côté b , on trouvera les deux angles 15 et C et

le troisième côté c par les équations

n R «‘«6 tangbcota R,

stn fi = — : , COJ c = — , COJ c = —

^ R ’ " ctu b

L’angle C ne peut laisser aucune incertitude, non plus ^ que le côté c; quant à l’angle fi, il doit être de même espèce que le côté donné b.

DKUXIKMR CAS.

LXJx. Etant donnés les deux côtés de l’angle droit 1j Cf c , on trouvera l'hypoténuse a et les angles B cf C par les équations

rof o =

cos b cos c

R b R tang c

3 — r-^, tang Cz=

sine " sin b

Il n’y a dans ce cas aucune ambiguité.