LIVRE K

THÉOBBME.

Si deux lignes droites AB, CD, sont perpendi- ««• 36. culaircs aune troisième F G , ces deux lignes seront parallèles, c'est-à-dire quelles ne pourront se rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge.

Car si elles se rencontraient en un point 0, il y aurait deux perpendiculaires OF, OG, abaissées d'un même point Osur une mémeligne FG, ce qui est impossible.*

, THÉORKH8.

Si deux lignes droites AB , CD, font avec une troisième EF, deux angles intérieurs BEF, DFE, dont la somme soit égale à deux angles droits, les lignes AB, CD, seront parallèles.

Si les angles BEF, DFE, étaient égaux , ils seraient droits l’un et l'autre, et on tomberait dans le cas de la proposition précédente ; supposons donc qu’ils sont inégaux et parle point F ,soiiiinet du plus grand, abaissons FG perpendiculaire sur AB.

Dans le triangle EFG, la somme des deux angles aigus FËG-1- EFG est égale à un angle droit*; cette *pr. 19. Somme étant retranchée de la somme BEF DFE^® "^'*' égale par hypothèse à deux angles droits, il restera l’angle DFG égal à un angle droit. Donc les deux lignes AB , CD , sont perpendiculaires à une même ligne FG, donc elles sont parallèles *. ,

GrioH^TirS.

THBORBMB.

«c- Î-. . Si deux lignes droites JB, CD , font avec mie troisième EF, deux angles intérieurs d’un même côté, dont la somme soit plus petite ou plus grande que deux angles droits, les lignes A B , CD , prolongées sujjisarnment , devront se rencontrer. Soit 1” La somme BEF-J-EFD plus petite que deux angles droits , menex FO de manière que l'angle EFG=i: AEF , vous aurez la somme BEF-t-EFG égale è la somme BEI+AEF et par conséquent égale à . deux angles droits, et pui.sque BEF + EFD est plus petite que deux angles droits, la droite DF sera comprise dans l'angle EFG. -

Par le point F tirez une oblique FM qui rencontre AB en M, l’angle AMF sera égal à GFM, puisqu'en ajoutant de part et d’autre une même quantité EFM -f-FEM, les deux sommes sont égales chacune à deux angles droits. Prenez ensuite MN = FM et joignez FN; l’angle AMF , extérieur au triangle FMN , est égal à la somme des deux intérieurs opposés MFN , MWF* ; ceux-ci sont égaux entre eux , puisqu’ils sont opposés à des côtés égaux MN , FM ; donc l’angle AMF ou son égal MFG est double de MFN ; donc la droite FN divise en deux parties égales l'angle G FM et rencontre la ligne A B en un point N situé à la distance MN = FM.

Il suit de la même démonstration que si on prend NP = FN, on déterminera sur la ligne AB le point P on aboutit la droite FP qui fait l’angle GFP égal à la moitié de l’angle GFN, Ou au quart de l’angle GFM, On peut donc prendre ainsi successivement la moitié •'le quart, le huitième, ctc.de l’angle GFM, et les ^ lignes qui opèrent ces divisions, rencontreront la ligne

LIVHS I.

AB en des points' de plus en plus éloignes , mais faciles à déterminer, puisque MN = FM, NP=FN, PQ=

PF, etc. On peut même observer que chaque distance d’un de ces points d'intersection au point fixe F , m’est pas tout à fait double de la distance du point d’intersection précédent, car F’N par exemple est môiiidre que ’ FM+MN ou 2 FM; on a pareillement FP <aFN,

^FQ < aFPj etc.

Mais en continuant de sous-diviser l’angle GFM en raison double, on parviendra bientôt à un angle G FZ plus petit que l’angle donné GFD , et il sera encore vrai que FZ prolongée rencontre AO en un point déterminé : donc à plus forte raison la droite FO coin.' prise dans l’angle KFZ, rencontrera AB.

-Supposons 2” que la somme des deux angles intérieurs A£F-f-CF£ est plus grande que> deux angles droits, si l’on prolonge AE vers 0 et CF vers D, la somme des quatre angles AEF, BEF, CFE, EFD , sera égaleà quatre angles droits; donc si de cette somme 00 retranche AEF-p.CFE plus grande que, deux angles droits, il restera' la somme BËF-t-£FD plus petite que deux angles droits. Donc suivant le premier casles lignes EB, FD,-prolongéessuffisamment, doivent se rencontrer. ' ,

Corollaire. Par un point donné F on ne peut mener qu’une seule parallèle à la ligne donnée AB ,- car ayant tiré FE à volonté, il n’y a qu’une ligne FG qui fasse la somme des deux angles BEF-t- EFG , égale à deux angles droits; toute autre droite FO ferait la somme , des deux angles BEF+EFD plus petite ou plus grande qqe deux droits; et rencontrerait par conséquent la ligne AB. ’

THÉOaiME. ,

Si deux lignes parallèles AB, CD, sont contrées par une sécante EF , la somme des

a8~ ' GJSOMiTHIB.

angles intérj^urs AGO , GOC , sera égale à deux angles drota.

Car si elle était plus grande ou plus petite, les deux droites AB, CD, se rencontreraient d’un câtë ou de pr<>3. l’autre* et ne seraient pas parallèles.

. Corollaire I. Si l’angle GOC est droit, l’angle AGO sera aussi un angle droit; donc toute ligne perpen-' diculaire à l'une des parallèles est perpendiculaire k l'autre. '

CoroUeàré II. Puisque la somme AGO + GOC est égale à deux angles droits, et que la somme GOD + GOC est aussi égale à deux angles droits; si on retranche de part et d’autre GOC, on aura l’angle AGO pr. 5. =GOD. D’ailleurs AGO=BGE, et GOD=COF*; donc les quatre angles aigus AGO, BGE, GOD, COF, sont égaux entre eux; il en est de même des quatre angles obtus AGE, BGO, GOG-, DOF. On peut observer de plus qu’en ajoutant l’uu des quatre angle aigus à l’un des quatre obtus , la somme sera toujours égale à deux angles droits.

SchoUe. Les ang.es dont on vient de parler , comparés deux à deux, prennent différents noms. Nous avons déjà appelé les angles AGO , GOC , intérieurs tTun même côté; les angles BGO, GOD , ont le même nom ; les angles AGO , GOD , s’appellent alternesintemes, ou simplement alternes; il en est de même des angles BGO., GOC. Enfin on appelle internesm externes les angles EGB , GOD; ou EGA, GOC, et alternes-externes les angles EGB, COF, ou AGE, DOF. Cela posé on peut regarder les propositions suivantes comme étant déjà démontrées.

I” Les angles intérieurs d’un même côté, pris ensemble, valent deux angles droits.

. ■ -a° 'Les angles altemes-intemes sont égaux, ainsi que

; LIVUE I. ap

les angles internes-externes , et les angles alternesextemes. * *

Réciproquement si dans ce second cas, deux angles de même nom sont égaux , on peut conclure que les lignes auxquelles ils se rapportent sont parallèles.

Soit, par exemple, l’angle AGO = GOD; puisque GOC -f- GOD est égal à deux droits , on aura aussi AGO -T- GOC égal à deux droits, donc* les lignes AG, CO, Vsont parallèles. '

TBÉOBBMB. ,

-■ Deux lignes AB , CD , parallèles à une troisième EF , sont parallèles entre elles.

Menez la sécante PQR perpendiculaire à EF.

Puisque AB est parallèle à EF,, la sécante PR sera perpendiculaire à AB*; de niéme puisque CU est pa- *«or.i rallèle à EF, la sécante PR sera perpendiculaire à CD. Donc AB et CO sont perpendiculaires à la même droite PQ; donc elles sont parallèles *. .. i-

THÉORânB.

Deux parallèles sont partout également distantes.

Etant données les deux parallèles AB, CD, si par fig. 40. deux points pris à volonté, on élève sur AB les deux perpendiculaires EG , FH , les droites EG, FH , seront en même temps perpendiculaires à CD * ; je dis de plus *pr. >(. que ces droites seront égales entre elles.

Car en tii'ant GF, les angles GFE, FGH, considérés par rapport aux parallèles AB, CD, seront égaux comme alternes - internes*; de même puisque les droites EG, FH, sont perpendiculaires à une même --

GKOHBTkIB.

droite AB , et par conséquent parallèle* entre elles, les angles EGF, GFH , considérés par rapport aux parallèles G£,'FH, seront égaux comme alternesinternes. Donc les deux triangles EFG, FGH , ont un , côté commun FG adjacent à deux angles égaux,

chacun à chacun donc ces deux triangles sont . ’i-t i- égaux*; donc lé côté £G qui mesure la distance des.

parallèles AB , CD , au point Ë, est égal au côté FH ,

' qui mesure la distance de ces' mêmes parallèles au point F. ' .

TRKOHBHB.

«R. s«. . Si deux angles BAC, DEF, ont les côtés pa-

rallèles , chacun à chacun , et dirigés dans le ■ même sens, ces deux angles seront égaux. ■

' . - . . Prolongea, s’il est nécessaire, DE jusqu’à la ren*

contre de AC en G; l’angle DEF est égal à DGC , parce que EF est parallèle à GC*; l’angle DGG est égal à BAC , parce que DG est parallèle à AB ; donc . -, ' ■ ■ l’angle DEF est égal à BAC. ' •

Scholie. On met dans cette proposition la restriction que le côté EF soit dirigé dans le même sens que AC * et ED dans le même sens que AB; la raison en est que

si on prolonge F£ vers H, l’angle DEH aurait scs . côtés parallèles à ceux de l'angle BAC, mais ne • > , lui .serait pas égal. Dans ce cas , l’angle DE et l’angle BAC feraient ensemble deux angles droits.

T n KO R B HÉ.

Les côtés opposés d’un parallélogranime sont égaux, aifisi que les angles opposés.

. 'Tirez la diagonale BD, les deux triangles ADB,

f. . ài

OfiC , onjt le côté commun BD ; de plus , à cause des parallèles AD, BC, l’angle ADB=DBC*,et à cause *pr. «v (les parallèles AB, CD , l’angle ABD = BDC; donc les deux triangles ADB, DBG, sont égaux*; donc le * |>r. 7. côté AB opposé à l'angle ADB est égal au côté DC . .. opposé à l'angle égal DBG , et pareillement le troi* , sième côté AD est égal au troisième BG ; donc les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux.

En second lieu, de l’égalité des mêmes triangles il s’ensuit'que l’angle A est égal à l’angle G, et aussi que l'angle" ADCf composé des deux angles ADB, BDC est égal à l’angle ABC, ^composé des deux angles .DBG, ABD, donc les angles "opposés d’un parallèle^ gramme sont égaux.* • . •

. CoroUtùre. Donc deux parallèles AB, CD, com* prises entre deux autres parallèles AD, BC, sont .égales. • . •* •

PROPOSITIQN XXIX.

THÉOXâMB.

Si dans un quadiilatère ABCD les ' côtés op- .fig. tt. posés sont égaux, en sorte qu*on ait AB=CD,rtAD=BC, les côtés égaux seront parallèles , et . . la figure sera un parallélogramme. • . - ' . • •

Car, en tirant; la diagonale BD, les deux triangles . ABD,.BDC, auront les trois côtés égaux ehacUn à s cUacuu; donc ils seront égaux; donc l'angle ADB opposé au côté AB, est égal à l'angle DBG opposé au côté GD ; donc*. le côte AO est parallèle à BC. Par *pr. at. une semblable raison, AB est par^èle'à CD; donc le (quadrilatère ABCD est un parallélogramihie.

GÉ OMÉTRIÉ.

THÉOBÊME.

tf.m Si deux côtés opposés AB, CD, dun quadrilatère sont égaux et parallèles, les deux autres côtés seront pareillement égaux et parallèles , et la figure ABCD sera un parallélogramme.

Soit tirée la diagonale BD ; puisque AB est pa> railèle à CD, les angles alternes ABD, BDC, sont *pr.* 4 , égaux * : d’ailleurs le côté AB = DC, le côté DB est commun ; donc le triangle ABD est égal au triangle •pr. fi. DBG *; donc le côté AD = BC, l'angle ADB = DBC, et par conséquent AD est parallèle à BC; donc la figure ABCD est un parallélogramme.

TBÉOaàllE.

Sf. *5. . Les deux diagonales AC , DB, d'un parallélogramme se coupent mutuellement en deux ^ parties égales.

Car, en comparant le triangle ADO au triangle COB, on trouve le côté AD— GB , l’angle ADO= *|ir.a4« CBO*; et l’angle DAO=OCB, donc ces deux trian-' *pr.> 7 . gles sont égaux*; donc AO, côté opposé à l’angle ADO , est égal à OC , côté opposé à l’angle OBC ; donc aussi DO=:OB.

.ScAo/ie. Dans le cas du losange , les côtés' AB, BC, étant égaux, les triangles AOB, OBG, ont les trois côtés égaux chacun à chacun , et sont par conséquent égaux; d’où il suit que l’angle AOB=BOG, et qu’ainsi les deux diagonales d’un losange se coupent mutuellement à angles droits.