I,E CERCLE ET LA MESURE DES ANGLES

' DXVINITIOHS.

I. Là circonférence du cercle est une ligne courbe, fig. 46. dont tous les points sont également distants d’un point intérieur qu’on appelle centre. .

Le cercle est l’espace terminé par cette ligne courbe.

JV. B. Quelquefoia dans le discours on confond le cercle avec sa circonférence; mais il sera toujours facile de rétablir l’exactitude des expressions , en se souvenant qiie le cercle est une surface qui a longueur et largeOr, tandis que la circonférence n’est qu’une ligne. ■ * ■

II. Toute ligne droite CA , CE , - CD , etc. , menée du centre à la circonférence ,• s'appelle rayon ou demi^ * diamètre; toute ligne, comme AB, qui passe par le centre , et qui est terminée de part et d’autre à la cir- ' ' conférence, s’appelle diamètre.

En vertu de la définition du cercle, tous les rayons sont égaux; tous les diamètres sont égaux aussi, et doubles du rayon.

* 111. On appelle arc une portion de circonférence

telle que FHG.

La corde ou sétis-tendante de l’arc est la ligne droite FG qui joint ses deux extrémités.

IV. Segment est la surface ou portion de cercle comprise entre l’arc et la corde.

N. B. A la même corde FG répoudent toujours deux arcs FHG>

FEG , et par conséquent aussi deux segments ; mais c'est toujours ^ le plus petit dont on entend parler, A moins qu’on n’expriino le contraire. ’’ . ' ' •••

^4 GÜOMBtKlfi.

y. Secteur est U partie du cercle comprise entre un arc DE et les deux rayons CD, CE, menés aux extrémités de cet arc.

''S ^7- VI. On appelle ligne inscrite dans le cercle, celle dont les extrémités sont à la circonférence, comme AB;

Angle inscrit , un angle tel que BAC , dont le sommet est à la circonférence,' et qui est formé par deux cordes ;

■ Triangle inscrit, un triangle tel que BAC , dont les

trois angles ont leurs sommets à la circonférence;

Et en général figure inscrite , celle dont tous les ' angles ont leurs sommets .à la circonférence: en même temps on dit que le cercle est circonscrit à celte figure.

Gg. 48. Vil. On appelle sécante une ligne qui rencontre la circonférence en deux points : telle est AB.

YIll. Tangente est une ligne qui n’a qu’un point de commun avec la circonférence : telle est CD.

Le point commun M s’appelle point de contact.

IX. Paieillement deux circonférences sont tangentes l’une à l’autre, lorsqu’elles n’ont qu’un point de commun.

Gg. i 6 o. X. Un polygone est circonscrit à un cercle, lorsque tous ses côtés sont des tangentes à la circonférence} dans le même cas on dit que le cercle est inscrit dans le polygone.

PROPOSITION PREMIÈRE

THJâoaSMB.

G, . 4(> Tout diamètre AB divise le cercle et sa circonférence en deux parties égales.

Car si on applique la figure AEB sur AFB , en conservant la base commune AB, il faudra que la ligne courbe AEB tombe exactement sur la ligue

‘-—a--. . vJ

. LiVKB U.

courbe ÂFB, sans quoi il y aurait dans Tune ou dans l'autre des points inégalement éloignés du centre , ce qui est contre la définition du cerele.

THBOSâHB.

Toute corde est plus petite que le diamètre.

Car si aux extrémités de la corde AT) on mène les 6g. 4-,: rayons AC, CD, on aura la ligne droite AD< AC CD, ou AD < AB. - .

Corollaire. Donc la plus grande ligne droite qu'on ‘ puisse inscrire dans un cercle est égale à son diamètre. ^ .

- THBOHBat E.

Une ligne droite ne peut rencontrer une cir- . conférence en plus de deux points.

Car si elle la rencontrait en trois, ces trois points seraient également distants du centre ; il y aurait donc , .

trois droites égales menées d’un même point sur une même ligue droite , ce qui est impossible *. * (>r. i6,

tir.' I.

PROPOSITION iV.

trbohéme.

Dans un même cercle ou dans des cercles égaux , les arcs égaux sont sous-tendus par des - <

cordes égales, et réciproquement les cordes W

égales suus-tendent des arcs égaux.

Le rayon AC étant égal au rayon EO , et l'arc AMD 6y 3... égal à l'arc ENG , je dis que la corde AD sera égale à la corde EG. '

36 OBOM^TBIB.

Car le diamètre* AB étant égal au diamètre EF , le demi-cercle AMDB pourra s’appliquer exactement sur le demi-cercle ENGF , et la ligue courbe AMDB coin* cidera entièrement avec la ligne courbe ENGF. Mai* on suppose la portion AMD égale à la portion ENG ; donc le point D tombera sur le point G; donc la corde AD est égale à la corde EG.

Réciproquement, en supposant toujours le rayon AC=£0, si la corde AD=EG, je dis que l'arc AMD sera égal à l’arc ENG.

Car en tirant les rayons CD, OG, les denx triangles ACD, EOG, auront les trois côtés égaux chacun à cliacun savoir, AC=EO, CD=îOG^et AD = EG ; donc ces triangles sont égaux * ; donc l’angle ACD = EOG. Mais en posant le demi-cercle ADB sur son. égal EGF, puisque l’angle AGD=EOG, il est clair que le rayon CD tombera' sur le rayon OG, et , le point D sur le point G; donc l’arc AMD est égal à l’arc ENG.

THÉORÈME

Dans le même cercle ou dans des cercles égaux , un plus grand arc est sous - tendu par une plus grande corde , et réciproquement^ si toutefois les arcs dont il s'agit sont moindres qu’une demicirconférence.

Car soit l’aiv AH plus grand quu AD, et soient menées les cordes AD , AH , et les rayons CD , CH : les deux côtés AC, CH, du triangle ACH sont égaux aux deux côtés AC, CD, du triangle ACD : l’angle ACH est plus grand que ACD ; donc * le troisième côté AH est plus grand que le troisième AD; donc la corde qui sous-tcnd le plus grand arc est la plus grande.

riVRK II. 37

Réciproquement, si la corde AH est supposée plu^ grande que AD, on conclura des mêmes triangles ' '

que l’angle ACH est plus grand que ACD, et qu’ainsi ' l’arc AH est plus grand que AD.

Scholie. Nous supposons que les arcs dont il s’agit sont plus petits que. la demi - circonférence. S’ils étaient plus grands, la propriété contraire aurait lieu; l’arc augmentant, la corde diminuerait, et réciproquement : ainsi l’arc AKfiD étant plus grand que AKBH , la corde AD du premier est plus petite que la corde AH du second. .

TBBORÂMB. . / '

Le rayon CG, perpendiculaire à une corde iî#.5i. • AB, divise cette corde et V arc sous-tendu hG'R ^ chacun en deitx parties égales. ... *

Menez les rayons CA, CB; ces rayons sont, par ' rapport à la perpendiculaire CD , deux obliques égales ; donc ils s’écartent également de la perpendiculaire*! * t 6 ,t. donc AD=DB.

En second lieu , puisque AD=DB, CG est une perpendiculaire élevée sur le milieu de AB donc * tout • 17,1. point de cette perpendiculaire doit être également distant des deux extrémités A et B. Le point G est un dé ces points; donc la distance AG=:cBG. Mais si la ' corde AG est égale à la corde GD, l’arc AG ser.i égal à l'arc GB*; donc le rayon CG, perpendiculaire à la •pt.t. corde AB, divise l’arc sous -tendu par cette corde en deux parties égales au point G.

Scholie. Le centre C, le milieu D de la corde AB, ' , et le milieu G de l’arc sous-tendu par cette corde sont trois points situés sur une même ligne perpen. diculaire à la corde. Or il suiiit de deux points pour

, . "î.s CHOMETHIH.

(|^t6rniiner la |)üsltion dune ligne droite 5 <lonc toute ligne droite (fui passe par deux des points nienlionyiés, passera nécessairement par le troisième, et sera perpendiculaire à la corde.

' . Il s’ensuit aussi (fue la perpendiculaire éla-ée sur

'le milieu d’une corde passe par le centre et par le • ’ milieu de l’arc sous-tendu par cette corde.

I ’ Car cette perpendiculaire n’est autre que celle (jiii

> I ’ serait abaissée du centre sur la même corde , puis-

. ' qu’elles passent toutes deux par le milieu de la corde.

- , ... TBBORâsiB.

%. Sa. Par trois points donnés. A, B, C, non en ligne droite, on peut toujours faire passer une ' , circonférence, mais on n’en peut faire passer

qu’une.

Joisnez AB , BC , et divisez ces deux droites en deux

parties (-gales par les perpendiculaires DE, FG ; je dis d’abord que ces perpendiculaires se rencontreront en un point O.

y Car les lignes DE, FG , se couperont nécessai-

< * rement si elles ne sont pas parallèles. Or supposons

qu’elles fussent parallèles; la ligne AB, perpendicu- *24, 1.’* laire à DE, serait perpendiculaire à FG*, et l’angle K. serait droit; mais BK, prolongement de BD, est (lifférehte de BF, puisque les trois points A, B, C, . ne sont pas en ligne droite; donc il y aurait deux perpendiculaires BF , BR , abaissées d’un même point

• i 5 ,u sur la même ligne, ce qui est impossible*; donc les

perpendiculaires DE, FG, se couperont toujours en un j)oint O.

Maintenant le point O, comme appartenant à la • , perpendiculaire DE, est à "égale distance dès deux

* n. »• points A et B*; le même point O, comme 9ppaitenant