SIXIEME CAS

Lxxiii. Etant donnés les angles obliques B et C , on tiouvéra les trois côtés a , b , c , par les formules

col B col C

, cos b :

R cos B

• , cos c :

R cos C

R ’ sin C ’ sin B

Et dans ce cas il ne reste encore aucune incertitude.

TR loon UM ETRlB

R E M Â RQ U E.

^ Exxrv. triangle sphérique dont A , B , G , sont . les angles, et a , b, c\e& côtés opposés , répond tou» jours à un triangle polaire dont les angles sont suppléments des côtés a, b , c , et les côtés suppléments des angles A , B , C ; de sorte que si on appelle A', B', G', les angles du triangle polaire, eta', b' , c!, les côtés opposés à ces angles, on aura ,

1 A' = 200’ — a,B'=;aoo'’ — ô, C'= 200"-^c ^ fl' = aoo‘’ — A, ô' = 2 oo" — B,c' = 2 oo" — G.

, Gela posé, si un triangle spliérique a un côté a égal au quadrant , il est visible que l’angle correspondant A’ du triangle polaire sera droit, et qu’aiusl ce trianr gle sera rectangle. Donc les deux données qu’on doit avoir, outre le côté de loo" , pour résoudre le triangle proposé, serviront à trouver la solution du triangle polaire, et par suite celle du triangle proposé. On pourrait tirer de là des formules semblables aux précédentes pour résoudre directement les triangles 'sphériques qui ont un côté de ioo°. -

. Un triangle isoscèle se partage en deux triangles rectangles égaux dans toutes leurs parties , ainsi la résolution des triangles sphériques isoscèles dépend encore de celle des triangles sphériques rectangles.

Soit ABC un triangle sphérique, tel que les deuil côtés AB, BG soient suppléments l'un de l’autre; si un prolonge les côtés .AB , AG jusqu’à leur rencontre , en D , il est clair que BG et BD seront égaux comme éunt suppléments d’un même côté AB ; d’ailleurs il est visible que les parties du triangle BGD étant Connues, on connaît celles du triangle ABG qui est le reste du fuseau AD , et vice versa. Donc la résolution , -idu triangle ABG, dans lequel deux côtés, font ensemble 200”, se réduit à celle du triangle isoscèle BGD, ou à celle du triangle rectangle BDE qui est la moitié de GBD. . ' '

'spHÉiiiQPi. 3p5

Lorsque les deux côtés AB, BC, sont suppléments Tun de l’autre, il faut que les angles opposés ACB,

BAC, soient aussi suppléments l’un de l’autre; car BCD est supplément de BCA ; or BCD==D= A. Donc on ne peut avoir a-f-c = aoo", sans avoir en même temps A C = aoo” , ce qui est réciproque.

De là on voit que la résolution des triangles sphériques rectangles comprend , i® celle des triangles sphériques qui ont un côté égal au quadrant; a® celle des triangles sphériques isoscèles ; 3® celle des triangles sphériques dans lesquels la somme de deux côtés est de aoo", ainsi que celle des deux angles opposés.

Principes pour la résolution des triangles

sphériques en général. ’

Lxxv. Dans tout triangle sphérique les sinus des angles sont comme les sinus des côtés opposés»

Soit ABC un triangle sphérique quelconque, je dis qu’on aura sm B : sin C sin AC : sin AB.

Du sommet A abaissez l’arc AD perpendiculaire sur le côté opposé BC, les triangles rectangles ABD,

ACD donneront les proportions

sin B : R sin AI) ; sin AB R : sin C sin AC : sin AD. '

Multipliant ces deux proportions par ordre et omettant les facteurs communs , on aura

sin B : sin C :: sin AC : sin AB.

Si la perpendiculaire AD tombait au dehors du triait- ' *8gle ABC, on aurait les deux mêmes proportions dans l’une desquelles sin C désignerait sin ACD; mais comme l’angle ACD et l’angle ACB sont sup. pléments l’un de l’autre, leurs sinus sont égaux; ainsi on aurait toujours sin B ; sin C ;; s'ui AC: sut AB. . ' •

£«• iS.

396 THIGPHOMBTBIB

- Soient a, b, Cj les côtés opposés aux angles A, B, C, chacun à chacun , on aura , suivaut cette proposition^ sin A : sin a sin B : sin b sin C : sût c; ce qui donne la double équation :

sin h. sut B sin C - ' r

sin a ~~~ sin b ùn c

Lxxvi. Dans tout triangle sphérique le cosinus d’un angle est égal au quarré du rayon multiplié par le cosinus du côté opposé , moins le produit du rayon par les cosinus des côtés adjacents, le tout divisé par le produit des sinus de ces mêmes côtés : c'est-à-dire qu'on a pour l’an-

/ „ t R’cofc — 'Kcosaeosb

gle C, par exemple, cos L. = : ;

" t s sut a sut b

On aurait semblablement pour les deux autres

, . R’ CO» a — K cos b cos c

angles, cos A = ^ , et cos B =

sut b sin e

R’ cos b — R

co,f a cos c

stna stnc

Soit ABC le triangle proposé dans lequel on fait BC = û, ^AC = A, AB = c. Du point O, centre de la sphère, tirez les droites indéfinies OA, OB, OC; prenez OD à volonté, et par le point D, menez DE dans le plan OC A et DF dans le plan OCB, toutes deux perpendiculaires à OD, lesquelles rencontrent en E et F les rayons OA, OB, prolongés; enfin joignez EF.

L’angle D du triangle EDF est par construction la mesure de l’angle que font entre eux les plans OC A, OCB, ainsi l’angle EDF est égal à l’angle C du -triangle sphérique AC B : or dans les triangles DEF , OEF, on a*

cwEDF DË’-»-iÏF— Ë f’

aÜE.DF

SPBiBtQUB. 397

CW EOF ÔÊ + OF— ËF*