OE R
DE fin DüE
OD CW DOE
DE fin DOE ”
CW b OD CW DOF CW a
fin b’ DF fin DOF fin a
Donc
^ R* CW c — R CW a cof b
cos L :=. : ^ — ; .
fin a fin b
Ce principe , qui , étant appliqué successivement aux trois angles, fournit trois équations, suffit pour la résolution de tous les problèmes de la trigonométrie sphérique : il a, par rapport aux tiiangle sphériques, la même généralité que le principe de l’art. xLv, par rapport aux triangles plans. En effet, puisqu'on a toujours trois éléments donnés par le moyen desquels il faut déterminer les trois autres, il est clair que ce principe donne les équatioas necessaires pour résoudre le problème; équations qu’il appartient à l’analyse de développer ultérieurement» pour en tirer, suivant les différents cas, les formules les plus simples et les mieux adaptées au calcul logarithuiique.
'^(|8 TRlCOMOMBtàlfe
LXXTii. Puisque le principe dont nous parlons est absolument général , il doit renfermer tous les autres principes relatiis aux triangles sphériques , et notamment le principe du n" lxxv. C’est ce qu’il est facile deyérifier. '
En effet l’équation cos
R’ eo$ c — R CO» O cor b
tin a tin h
tin C =
donne R» — cos' C ou j/«» C =
R‘sin‘aiin'h—K'cos'acos‘b-\-^K'cosacosbcosc—K*cot ‘ c tin' a fin' b
Or sin' a sin' ô = (R* — cos' a) (R* — cos' b) = R* — R” cos’ a — R* cos’ b + cos' a cos’ b. Donc en sqbsti tuant et extrayant la racine, on aura , ^
\/CR*“R’co*'fl^R'«M*^R*co»*f+aR<a*<»«>/*c<wc).
tinaiimb j
Soit pour abréger Z = . 'i
' l/(R‘ — R* cos’ a—; R' cos’ i — R’ cos‘c-f- a RcosacosA<^osr), on aura donc « > «• .<»
sin C=-
RZ
ou
tin C
RZ ^ •
tin a tin b tin c
’ tin a tin b’ tin c Les Taleurs de cos A et de cos B donneraient semblablement
tut B
tin A RZ
- tin O tût a rtn b tin c’ tin b tin a tin b tin c ’ car la quantité Z ne change pas, lorsqu’on fait la permutation entre deux des quantités a, b, c; donc
tin A tin B tin C .....
on a — : — = = — : — , ce oui est le principe du
tin b
LxxTin. Les valeurs que nous venons de trouver pour cos C et soi C, peuvent servir k trouver les angles d'un triangle sphérique dont on connaît les trois côtés ; mais il existé d'autres formules plus commodes pour le calcul logarithmique.
, En effet, si dans la formule R' — H cos C =s
IVttjiBlQÛk. 399
a Mn;C, qn subititue la yaleur de cos C, on aura
arûi’-jC coïC cota cot A-f-ri'/i asin R«mc
R* R tin a ttn b
Le numérateur de cette expression se réduit à R cos (a — b') — R cos e; or, d’après la formule U COJ €f — R cos pz=asin{ {p+(j) sin'- [p — ^)'‘,on trouve R COJ {a — b ) — RcoJC = a j/nj (c — b-\-a) sin{ (c — a + b) ; donc .
^c + b — a\ . /c-J-a — 6\ un ( 1 J//I I I
tin' C \ a y V a > .
R’ sin a un h
• ,/ c-f-A — a . c-{-a — Al
OU sin^ Li=Iv ' a a >•
> I .un a sin b '
11 est évident qu'on aurait des formules semblables pour exprimer sin ^ A et jûj ^ B , par le moyen des trois càtés a, b, c.
nxxix. fie problème général de la trigonométrie sphérique consiste , comme nous l’avons déjà dit , à déterminer trois des six quantités A , B , C , a, b , c, par le moyen des trois autres. 11 est né* cessaire, pour cet objet, d’avoir des équations entre quatre de ces quantités , prises de toutes les manières possibles ; or , six quantités combinées quatre è
quatre ou deux à deux, donnent ou i5 combi-
naisons, ainsi il y aura quinxe équations à former; mais si on ne considère qne les combinaisons essen* iellement düTéreutes, ces quinze équations se réduisent à quatre. ^ ' ’
En effet, on a, i'> la combinaison abc A., qui omprend par la permutiition des lettres , abc A, a Ac B, abcC\
a" La combinaison aèAB, d’où, résultent a A AB, 6cBC, acAC;
4oO TBIGOnOMÜTIlIB.
3" La combinaison a6 A C, qui comprend(l®* *** abkC, aiBC, acAB, acBC, ftcAB, ftcAC;
4» Enfin, la combinaison a ABC, qui comprend les trois aABC, iABC, cABC.
Il y a donc en tout quinze combinaisons, mais il n’y en a que quatre. essentiellement différentes.
K' cos a — 'R. cos b cos Cy Lxxx. L équation cos A =: -.inblinl
représente déjà la première combinaison abck et celles qui en dépendent.
Pour former l’équation qui répond à la combinaison a i A B , il faut éliminer c des deux formules qui donnent les valeurs de cos A et cos B ; mais l’élU mination a déjà été faite (lxxvh), et le résiütat est
sin k. «/t B
sin a sut b'
La troisième combinaison se forme de la relation enU-e a, b. A, Cj pour cela ayant les deux équations
cos A sin b sin c = R‘ cos a — R cos b cos c,'
LOS C sin b sin a R* cos c ■ — R cos b cos a,
on en éliminera d’abord cos c, ce qui donnera R cos A
MÙi c -H cos C sin a cos R cos a sin b : mettant
1 ti • 1 1 • C
ensuite dans celle-ci la valeur sin c— r— r — , on
" Sin A. '
aura pour la troisième combinaison '
cot A sin C -i- cos C cos b = cot a sin b. (i)
( 1 ) Ponr rclenir •ûcinenl celle rormole el U retroarer ao beeolo , Tolci nne règle de Moéniouique : '
' 1°. Avec on càlé a et l'angle opposé A, ' '
Avec un autre côlé b et l'angle adjacent C, ' -
furmea l'équation Bclite eof« eotAz^ tôt b eotC, en obtervant d« mettre Ica petites lettres avant les grandes.
a* Mnllipliea de part el d'antre par t'n b u'nC, en anpposaut ' le rayon R = i , vont anrei ^
SFBSaïQOtl. . 401
Enfin, pour avoir la relation entre A, B, C, a, j’observe que dans l'équation précédente le terme
• » « b Y) sifi B ,
cot a sin 0= n cos a. — = n cos a — 7 ; donc , tut a stnA.
en multipliant cette équation par sin A, on aura R cos A sin C=iKcos asin B — sin A cos C cos b. > Si dans cette équation on permute entre elles les lettres A et B , ainsi que a et b, on aura R cos B sin C = R cos b sin A — sin B cos C cos a. Et de ces deux-ci on tire, en chassant cos b,
R’ cas A siu 0 + R cos B sin C cosQ>=:cos a sin B sin ’ C. Donc enfin
cosa = —
cos A-4-R cas B cos C sin B sin C
C’est la relation cherchée entre A, B, G, a, ou la quatrième des équations nécessaires pour la résolution des triangles sphériques.
xxxxi. Cette dernière équation entre A, B, C^ a, offre une analogie frappante avec la première entre a," b, c, A : et'on peut rendre raison de cette analogie par la propriété des triangles polaires ou supplémentaires. En effet, on sait que le triangle dont les angles sont, A, B, C, et les côtés opposés a, b, c, répond toujours à un triangle polaire , dont les côtés sont 200° — A, 200° — B, 200" — C, et les angles opposés 200“ — a, 200° — b, 200° — c. Or le principe de l’article lxxvi étant appliqué à ce dernier triangle , il en résulte '
cot a sût â <‘ot A n'ft C::zzcos ^ cosC.
3* Dans 1« prcmiar meinbte, Wpar» 1« petite» lettre» de* graïuîes, en metUnt à cclle»-ci le eigne — too» »arc* l'éqiution Traie col a sin t — cot A sin C nt cos i cos C ,
Isqaelle ét»ot homogène »ora lien, même •.ins «oppOMr R = i,
4o 3 TilGOIfO'ltBTElB.
, . . R’c<Mfaoo°-A)— Rctw(aoo®— B)co#i»oo"'C
c«,(aoo -a)= ,,,(,oo°-B).^Ca(^°-C) ~
«e qui s« réduit à
