R* CM A + R CO/ B CM C

cos a:

ainsi que nous l’avons trouvé par une autre voie.

Cette formule résout immédiatement le cas où l’on veut déterminer un côté par le moyen de trois angles; mais, pour avoir une formule plus commode pour le calcul logarithjnique , on substituera*

la valeur de cos a dans l’équation i — “

isin'ia . , sm'-ia

— ■, ce qui donnera — — = . i .

m/iBm/iC— cojBcofC— RcmA — Rcm(B+C) -R cmA

a sin B jin C a stn B sut C

Et parce qu’on a en général * R cos R cos q —

a cos T (p + q) cas j (p — q) , cette équation se réduit à

i a ( — cm 4 (A -f-B-l-C) cm ^(B-HC — A)f .

, R’ $in B tin C »

où il faut observer que le second membre , quoique sous une forme négative, est néanmoins toujotirs positif. Car on a en général sût {x — ioo°) =s

' sin X COI I oo® — CM * tin i oo"

g = — cos X donc

— COJ-; (A + B-t- C) =sin ^ ^ ^ — ioo“^

quantité qui est toujours positive , parce que A -f- B ■+■ C étant toujours compris entre aoo" et 600“ , l’angle A -H B -H C) — loo ’ est compris entre zéro et aoo" ; d’ailleurs cos 7 ( B -1- C - — A) est toujours positif, parce que B-f-C — A ne peut pas surpasser aoo“ ; en effet dans le triangle polaire le côté aoo°

— A est plus petit que la tomme des deux autres

Digitizod

jl>BÉkIQttll. 4°^

loo® — B, aoo“ — C; donc on a aoo" — A < 400" — B — C, ou B + C — A< aoo".

Etant ainsi assuré que le résultat sera toujours positif , on aura , pour déterminer un côté par le moyen des angles, la formule

un r a

1 — COS cos /

{ sin B iin C S

hxxxu. Avant d'aller plus loin, nous remarquerons que de ces formules générales, on peut déduire celles qui concernent les triangles sphériques rectangles- Pour cet effet , on fera A= 100°, tant dans les quatre formules principales que dans celles qui en dérivent par la permutation des lettres. Et d’abord l’équation cas A sin b sût c:=: R* cos a — R cos b cos c, donnera par cette substitution

(i K cos a = cos b cos c. ) '

Les dérivées de l’équation générale ne contiennent point A, et ainsi ne donnent aucune relation nouvelle dans le cas de A = 100“.

L’équation A= 100®,

Et la dérivée

tin A sin B

un a sut b’

donne dans le cas de

sin B

sut a tin h

sin K sin Ç. . ...

-r- — = , donnerait egalement

tin n fin /• ' »

R mais celle-ci est elle-même une dérivée

un a sin e'

de l’équation (a). '

L’équation cot A sin C -f- cos C cos b = cot a sin b , donne dans le cas de A =r 100®, cos G cos bz:z cot a sin b, ou

cos C long a = R tang b. ( 3 )

La dérivée cot C sin A'-|- cos A cos b = cot c sin b, donne dans le même cas, R cot G = cot c sin b, ou R tang c — sin b tang G. (i)

4o4 TBIGONOM KTRIS

Enfin la quatiième équation principale sin B sùi C cos <3 = R* cos A + R cûs B cos G , et sa dériirée sin A sm Ccos&=R'cos B + RcosAcosC, donnent dans le cas de A == loo", sih B sm C cos a — Rcos B cos G et sin C cos i=R cos B , ou

cof B cot G = R cos a, (5) "

sin C cos i = R cos B. • (6)

Ce sont les six équations sur lesquelles la résolution des triangles rectangles est fondée.

nxxxiii. Nous terminerons ces principes par la démonstration des Analogies de JSéper, qui serrent à simplifier plusieurs cas de la résolution des triangles sphériques.

. Par la combinaison des râleurs de cos A et cos C exprimées en a , h , c , nous arons déjà obtenu l'équation *

R cos h. sin c = R cas a sin b — cos G sin a cos ù. Gelle-ci donne par une simple permutation :

R cos B sin c = R cos b sin a — coj C sin b cos a. Donc en ajoutant ces deux équations, et réduisant,,

sin c {cos A + coi B) = (R — coj C) sin (a + b).'

M ■ sût C sin a sin b

Mais puisque -T — -p, = — — j- ±= — : — - , on a \ ^ ««C sin A. sin B' *

sin c {sin A + sin B ) =sin C (sin a + sin b)

et sino {sin A—sinB)=isin C{sin a — sùib)'.

Dirisant successirement ces deux équations par la'

précédente, on aura . ' • • i ■ > :

' sinA-^-sinB sin C sina-\-sinb

cos A COJ B R — cojC sin{a-\~b'^

' sin A. — sinB 2 si/iC sin a — sin ,

' -■ cojA + ciisB R — coj C * ji/i (n-f-6)^ *

Et en réduisant celles - ci par les formules des ai’ti- * des xxjx et xxx , il viendra

SPH^RIQDS. 4 oS

'■ '■ tang{[h. — B) = co^^C. - 7- ^° — . '

Efonc éunt donn<Ss les deux c6tës a et b avec l’àngie compris G, on trouvera les deux autres angles A et B par les analogies , ,

cojj(a + i) ;coj-j(a — b) :: coc\C-.tang^{h. + B) jî>iŸ(a + i):iü*-;(<ï-^i) ::cot^C-.tang~\h. — B).

Si on applique ces mêmes analogies an triangle polaiae du triangle ABC, il faudra mettre aoo" — A, 200® — B, 200° — a, 200° — b, 200® — c, à la placg de a, b", A, B, C, respectivement, et on aura pour résultat ces deux analogies

cojKA-I- B) :cos{ (A — B) :: tang^c\tang\ (a + d) iin i (A+ B) \iin j (A — B) :: tang'-c\tang\{fl — i), au mc^en desquelles, étant donnés un côté c et les deux angles adjacents A et B, on pourra trouver les deux autres côtés a et b. Ces quatre proportions sont connues sous le nom üi! Analogies de Néper.

Résolution des triangles sphériques en' ' général. ‘ ' * •

La résolution des triangles sphériques comprend six cas généraux, que noua allons développer successivement.

paBMiBR cas.

Lxxxiv. Etant donnés les trois côtés a , b , c , on trouvera un angle quelconque, par exemple, l'angle A opposé au côté a , par la formule :

tin J A = R y/ I

a + b — c . a + c — b stn un I

fin b .tin c

Di> ■ y, ' 'oogle

4*^ triêonométrib

DBnXiixB CAS.

txxxv. Étant donnés deux côtés a et b avec V angle A opposé à l’un de ces côtés, trouver le troisième côté c et les deux autres angles R etC.'

I® L’angle B se trouvera par l’équation sin B== $in A sin b

sin a ' • ■

a® Pour avoir l’angle C , il faut résoudre l’équation cot A sin C -J- COJ C cos b = cot a sin bi Soit pris pour cet effet un angle auxiliaire ç de ma- .

nière qu’on ait long f ^ ou cot A =

cos b cos 9

sin 9

; cette valeur de cot À étant substituée dans

l’équation à résoudre , donne t ( cos 9 sin C -4- ^ sin '

sin 9 cos C ) = cot a sin b, d’où l’on tire

jm(C + 9) = -- g— -I

' tang a

Par cet artifice, on voit que les deux termes inconnus dans l’équation proposée se réduisent à un 'seul , d’oii il est facile de tirer l’angle C.

3” Le côté C 56 trouvera par Fé<£uatioii sin a sin C

sin c:

sin A

On peut aussi le déterminer directement par la résolution de l’équation :

' R COJ h cos c -t- cos A sin b sin c = R’ cosa. ,

Pour cet effet, -soit cos A sin béic. ~ ^ ^ oti'

cos 9 -

cot A tang h

, on aura

tang 9 cos b .

(coj c COJ 9 -f- stn c. sin 9) = R coj a. Donc, en cherchant d’abord l’auxiliaire 9 par l’équation tatigtf

iPUBKIQÜB. 4(*7

— ^ l’ëquation

. . cos a cos 9

COS(c 9 );= r— i-.

' ' ' ^ cas O

Ce second cas peut avoir deux solutions , ainsi que le cas analogue des triangles rectilignes.