LIVRE II. .'ig

à la perpenijiculaire FG, est i égale iKstance des , ' •

deux points B, G; donc les trois distances OA, OB,

OC, sont égales; donc la circonférence décrite <lu

centre O et du rayon OB passera par les trois points ' «

donnés A, B, C.

Il est prouvé par-là qu’on peut toujours faire passer une circonférence par trois points donnés, non en *

ligne droite; je dis de plus qu’on n’en peut faire pas-' ser qu'une. ^

Car s’il y avait une seconde circonférence qui passât par les trois points donnés A, B, C, son centre ne pourrait être hors de la ligne DE*, puisqu’alors il * *7’‘' serait inégalement éloigné de A et de B; il ne pouiv rait être non plus hors de la ligne FG par une raison semblable; donc il serait à-la-fois sur les deux lignes DE, FG. Or deux lignes droites ne peuvent se couper *

en plus d’un point; donc il n’y a qu’une circonférence ' , . '

qui puisse passer par trois points donnés. ^

Corollaire. Deux circonférences ne peuvent se rencontrer en plus de deux points ; car si elles avaient trois points communs, elles auraient le même centre , et ne feraient qu’une seule et même circonférence. ,

TBEOaSHB.

Deux cordes égales sont également éloignées du centre; et de deux cordes inégales, la plus . petite est la plus éloignée du centre.

I® Soit la corde AB=DE: divisez ces cordes en Cg. 5S. * deux également par les perpendiculaires CF, CG, et tirez les rayons CA, CD.

Les triangles rectangles CAF, DCG, ont les hypoténuses CA, CD, égales; de plus le côté KP

4 o oiOMÉTltlI.

tnoiUë de est égal au côté DG, moitié de DE; .

* «â, I. donc ces triangles sont égaux*, et le troisième côté

CF est égal au troisième CG; donc, i° les deux cordes égales AB, DE, sont également éloignées du centre.

a* Soit la corde AH plus grande que DE, l’arc •pr.s, axH sera plus grand que l’arc DME*: sur l’arc ' AKH prenez la partie ANB=::DME, tirez la corde AB, et abaissez CF, ''perpendiculaire sur cette corde, et CI, perpendiculaire sur AH ; il est clair que CF *i 6 , 1. pjyg gj.jnd que CO, et CO plus grand que CI*; doinc à plus forte raison CF>CI. Mais CF=CG, puisque les cordes AB, DE, sont égales; donc on a • CG > CI ; donc de deux cordes inégales la plus petite est la plus éloignée du centre. '

rnÉOB ÂKE.

fig. 54. La perpendiculaire BD, menée à l'extrémité (lu rayon CA, est une tangente à la circonférence.

Car toute oblique CE est plus longue que la per-

* •• pendiculaire CA*; donc le point E est hors du cercle;

donc la ligne BD. n’a que le point A commun avec la circonférence; donc BD est une tangente*.

Scholie. On ne peut mener par un point donné A qu’une seule tangente AD à la circonférence ; car si on en pouvait mener une autre, celle-ci ne serait plus perpendiculaire au rajon CA; donc, par rapport à cette nouvelle tangente , le rayon CA serait une oblique, et la perpendiculaire, abaissée du centre sur ceue tangente, serait plus courte que CA; donc cette prétendue tangente entrerait dans le cercle, et serait une sécante.

LtV&E II.

ROPOSITION X.