LIT H B II

TBBOBBMB. '

Si la distance CD des centres de deux cercles est égale à la différence de leurs rayons C A , A D, ces deux cercles se toucheront intérieurement. ■

D’abord il est clair ({ii’ils ont le point A commua: ils n’cn' peuvent avoir d'autre; car pour cela il faudrait que le plus grand rayon AD fût plus petit que la somme faite du rayon AC et de la distance des centres CD*, ce qui n’a pas lieu. ••*.

Corollaire. Donc, si deux cercles se touchent, soit intérieurement, soit extérieurement, les centres et le point de contact sont Sur la même ligne droite.

Seholie. Tous les cercles qui ont leurs centres sur'^’g^ la droite CD, et qui passent par le point A, sont tangents les uns aux autre.s; ils n’ont entre eux que le seul point A de commun. Et si par le point A on mène AE perpendiculaire à CD, la droite AE sera une tan-. gente commune à tous ces cercles. . •

THÉOB^MB.

Dont le même cercle ou dans des cercles égaux , 6«. Si. les angles égaux ACB , DCE , dont le sommet est au centre , interceptent sur la circonférence des arcs égaux AB, DE.

Réciproquement, si les arcs AB, DE, sont égaux, les angles ACB, DCE , seiont aussi égaux.'

Car, i“ si l’angle ACB est égal à l’angle DCE, ces deux angles pourront se placer l’un sur l’autre; et comme leurs côtés sont égaux , il est clair que le point A tombera en D, et le point B eh E. Mais alors

44 GÉOMÉTKIB.

l'arc AB doit aussi tomber sur l'arc DE ; car si le* deux arcs n’étaient pas confondus en un seul , il y aurait dans l’un ou dans l’autre des points inégalement éloignés du centre, ce qui est impossible; donc ■l’arc AB=DE.

a° Si on suppose AB=DE, Je dis que l’angle •'AGB sera égal à DCE; car si ces angles ne sont pas égaux, soit ACB le plus grand, et soit pris ACI= DCE; on aura, par ce qui vient d’être démontré, AI = DE : mais, par hypothèse, l’arc AB zi: DE; donc on aurait AI=AB, ou la partie égale au tout , ce qui est impossible ; donc l’angle AGB=;DCE.

^ THÉOaÊUE.

Dans le même cercle ou dans des cercles égaux, si deux angles au centre ACB, DCE, sont entre eux comme deux nombres entiers, les arcs interceptés AB , DE , seront entre eux comme les mêmes nombres, et on aura cette proportion; Angle AGB: angle DCE: rare AB: arc DE.

Supposons, par exemple, que les angles ACB, DCE, soient entre eux comme 7 est à 4 ; ou, ce qui revient au même, supposons que l’angle M, qui servira de commune mesure, soit contenu sept fois dans l’angle ACB, et quatre dans l’angle DCE. Les angles partiels ACm, mCn, nCp, etc. DCx,xCx, «te., étant égaux entre eux , les arcs partiels Am, mn, np, etc., D.r, xy, etc., seront aussi égaux entre eux*; donc l’arc entier AB sera à l’arc entier DE comme 7 est à 4 ‘ Or il est évident que le même raisonnement aurait toujours lieu, quand à la place de 7 et 4 on aurait d’auters nombres quelcouqnes; donc, si le rapport des angles AGB, DCE, peut être exprimé

en nombres entiers , les arcs AB , DE , seront enue . eux comme les angles ACB , DCE.

Scholie. Réciproquement, si les arcs AB, DE, étaient entre eux comme deux nombres entiers', les angles ACB , DCE , seraient entre eux comme lé mêmes nombres, et on aurait toujours ACB: DCE :: AB: DE; car les arcs partiels Am, mn, etc.', Dar, xjr ^ etc., étant égaux, les angles partiels ACm, mC n , etc., DGx, xCjr^ etc., sont aussi égaux.

THBOaâMB.

, Quel que soit le rapport des deux angles ACB, fig.ss. ' ACD, ces deux angles seront toujours entre eux comme les arcs AB, AD, interceptés entre leurs côtés et décrits de leurs sommets comme centres avec des rayons égaux.

Supposons le plus petit angle placé dansle plus grand: si la proposition énoncée n'a pas lieu, l’angle ACB sera à l'angle ACD comme l’arc Afi est à un arc plus grand ou plus petit que AD. Supposons cet arc plus grand, et représentons-le par AO , nous aurons ainsi :

Angle ACB:angle ACD :: arc AB: arc AO.

Imaginons maintenant que l’arc AB soit divisé en parties égales dont chacune soit plus petite que DO, il y aura au moins ûn point de division entre D et O : soit I ce point, et joignons CI; les arcs AB, AI, seront entre eux comme deux nombres entiers, et on aura en vertu du théorème précédent :

Angle ACB: angle AGI: rare AB: arc AI.

Rapprochant ces deux proportions l’une de l’autre, et observant que les antécédents sont les mêmes , on en conclura que les .conséquents sont proportionnels, et qu’ainsi ' . • . . ’

46 CÉQMBTHffi.

Angle ACD: angle AGI:: arc AO: arc Al.

Mais l’arc AO est plus grand que l’arc AI : il faudrait donc , pour que la proportion subsistât , qu« l’angle ACD fût plus grand que l’angle AGI ; or au contraire il est plus petit ; donc il est impossible que l’angle AGB soit à l’angle AGD comme l’arc AB est â un arc plus grand que AD.

On démontrerait par un raisonnement entièrement semblable que le quatrième terme de la proportion ne peut être plus petit que AD ; donc il est exactement AD; donc on a la proportion :

Angle AGB:angle AGI) t: arc AB:arc AD.

Corollaire. Puisque l’angle au centre du cercle et l’arc intercepté entre ses côtés ont une telle liaison que quand l’un augmente ou diminue dans un rapport quelconque , l’autre augmente ou diminue dans le même rapport , on est en droit d'établir l’une de ces grandeurs pour la mesure de l'autre : ainsi nous prendrons désormais l'arc AB pour la mesure de l’angle AGB. Il faut seulement observer , dans la comparaison des angles entre eux, que les arcs qui leur servent de mesure doivent être décrits avec des rayons égaux ; car c’est ce que supposent toutes les propositions précédentes.

ScholU 1. 11 paraît plus naturel de mesurer une quantité par une quantité de la même espèce , et sur ce principe il conviendrait de rapporter tous les angles à l'angle droit : ainsi l’angle droit étant l’unité de mesure , un angle aigu serait exprimé par un nombre compris entre o et i , et un angle obtus par un nombre entre i et a. Mais cette manière d'exprimer les angles ne serait pas la plus commode dans l'usage ; on a trouvé beaucoup plus simple de les mesurer par des arcs de cercle , à cause de la facilité de faire des arcs égaux à des arcs donnés , et pour beaucoup d’autres raisons. Au reste, si la mesure do

LtVRB li. 47

angles par les arcs de cercle est en quelque sort indirecte , il n'en est pas moins facile d’obtenir par leur moyen la mesure directe et absolue; car si vous comparez l’arc qui sert de mesure à un angle avec le quart de la circonférence, vous aurez le rapport de l'angle donné à l'angle droit, ce qui est la mesure absolue. ^

Scholie IL , Tout ce qui a été démontré dans les trois propositions précédentes pour la comparaison des angles avec les arcs , a lieu également pour la com-^ paraison des secteurs avec les arcs ; car les secteurs sont égaux lorsque les angles le sont, et en général ils sont propoi'tionnels aux angles; donc deux secteurs ACB , ACD, pris dans le même cercle ou dans des cercles égaux , sont entre eux comme les arcs AB, AD, bases de ces mêmes secteurs. ^

On voit par-là que les arcs de cercle qui servent de mestue aux angles peuvent aussi servir de mesure aux différents secteurs d’un même cercle ou de cercles égaux.

THÉOH£ME.

L’angle inscrit BAD a pour mesure la moitié de l’arc BD compris entre ses côtés.

Supposons d'abord que le centre du cercle soit situé dans l'angle BAD, on mènera le diamètre AE et les rayons CB , CD. L’angle BCE , extérieur au triangle ABC, est égal à la somme des deux intérieurs CAB, ABC* : mais le triangle BAC étant isoscèle, l'angle CAB=~:ABC ; donc l'angle BCE est double de BAC. L’angle BCE, comme angle au centre, a pour mesure l'arc B£ ; donc l’angle BAC aura pour mesure la moitié de B£. Par une raison semblaltle,

** et

fig-.G».

Br. «s.

flf. 66.

48 6 ÂOMÉTRIE.

l'angle CAD aura pour mesure la moitié de ED ; donc BAC+CAD ou BAD aura pour mesure la moitié de BE+ED ou la moitié de BD.

Supposons en second lieu que le centre C soit situé hors de l’angle BAD, alors menant le diamètre AE, l’angle BAE aura pour mesure la moitié de BE, l’ange DAE la moitié de DE; donc leur différence BAD aura pour mesure la moitié de BE moins la moitié de ED , ou là moitié de BD.

Donc tout angle inscrit a pour mesure la moitié de l’arc compris entre ses côtés. .

Corollaire I. Tous les angles BAC , BDC , etc. , inscrits dans le même segment sont égaux; car ils on ^ur mesure la moitié du même arc BOC.

II. Tout angle BAD inscrit dans le demi -cercle est un angle droit ; car il a pour mesure ' la moitié de la demi-circonférence BOD , ou le quart de la circonférence.

Pour démontrer la même chose d’une autre manière , tirez le rajon AC ; le triangle BAC est isoscèle , ainsi l’angle BAC = ABC; le triangle CAD est pareillement isoscèle ; donc l’angle 'CAD = ADC ; donc BAC -I- CAD ou BAD = ABD + ADB. Mais si les deux angles B et D du triangle ABD valent ensemble le tro'isième BAD, les trois angles du triangle vaudront deux fois l’angle BAD; ils valent d'ailleurs deux angles droits ; donc l’angle BAD est un angle droit. * '

III. Tout angle BAC inscrit dans un segment plus grand que le demi-cercle , est un angle aigu ; car il a pour mesure .la moitié de l’arc BOC moindre qu’une demi-circonférence.

Et tout angle BOC , inscrit dans un segment plus petit que le demi-cercle, est un angle obtus ; car il a pour mesure la moitié de l’arc BAC plus grande qu’une demi-circonférence.

LIVBÜ 11. 4(^

■ IV. Les angles opposes A et C d'un quadrilatère inscrit ADCD, valent ensemble deux angles droits i car l’angle BAD a pour mesure la moitié de l’arc BCÜj l'angle BCD a pour mesiue la moitié <le l’arc BAU«

' donc les deux angles BAD, BCO, pris ensemble, ont pour mesure la moitié de la circonférence; donc leur somme équivalu à deux angles droits.

THBOHBME. ’

L'angle BAC , formé par une tangente et une %. «9. corde , a pour mesure la moitié de l'arc AMDC compris entre ses côtés.

Au point de contact A menez le diamètre AD; l’angle BAD est droit *, il a pour mesure la moitié de * 9. ' • la demi-circonférence AMD, l’angle DAC a pour me. sure la moitié de DC ; donc BAD -|- DAC ou BAC a pour mesure la moitié de AMD, plus la moitié de DC^ ou la moitié de l'arc entier AMDC.

' On démontrerait de même que l'angle CAE a pour mesure la moitié de l'arc AG compris entre ses cotés.

Problèmes relatifs aux deux premiers^ livres.

PROBLÈME PBEMISR.

Diviser la droite donnée AB en deux parties ts- T'égales.

Des points A et B , comme centres , avec un rayon plus grand que la moitié de AB, décrivez deux arcs qui se coupent en D ; le point D sera également éloigné des points A et B : marquez de même au-dessus

fig- 7*

5o cAüMBtRtB.

Oïl au-de^ous de la ligne AB nn second |>oint Ë ëga. lenient éloigné des points A et B, par les deux points D, £, tirez la ligne DE; je dis que D£ coupera la ligne AD en deux parties égales au point G.

- Car les deux points D et E étant chacun également éloignés des extrémités A et B, ils doivent se trouver tous deux dans la perpendiculaire élevée sur le mdieü de AB. Mais par deux points donnés il ne peut passer qu'une seule ligne droite; doi>c la ligne DE sera cette perpendiculaire elle*méme qui coupe la ligne AB en deux parties égales au point G.

phoblbiie II.

Par un point A , donné sur la ligne BG, élever une perpendiculaire à cette ligne.

Prenez les points B et G à égale distance de A, ensuite des points B et G , comme centres , et d’un rajon plus grand que BA, décrivez deux arcs qui se coupent en D; tii^ AD qui sera la perpendiculaire demandée.

Gar le point D étant également éloigné de B et de G , appartient à la perpendiculaire élevée sur le milieu de BG ; donc AD est cette perpendiculaire.

. Scholie. La même construction sert à faire un angle droit BAD en un point donné A sur une ligne donnée BG.

PHOBLBMB lit.

D’un point A , donné hors de la droite BD, abaisser une perpendiculaire sur cette droite.

Du point A, comme centre, et d’un 'rayon suiifisammenl grand , décrivez un arc qui coupe la ligne BD aux deux points B et D; marquez ensuite un point E également distant des points B et D, et tirez AE qui sera la perpendiculaire demandée.

Car les deux points A et E sont chacun également

. ' - n. JJ

.Imam, de, point, B et I); donc la ligne AE est perpendiculaire ,ur le milieu do BD. ^

FBOBLâME IV,

^ U point k de la ligne faire un angle égal a l angle donné K.

Du sommet K, comme centre, et d'un rayon a rolonte decnvea lare IL terminé au* deux côtés

AB égal à Kl, décrivez l'arc indéfini DO; prenez eii- . .mte un rayon égal à la corde U; du point B, comme centre, et de ce rayon, décrivez un arc yui coupe en Ü l are indéfini DO; tirez AD, et l’angle DAB sera ' égal a 1 angle donné K.

Ca. les deux arcs BD, Ll, ont des rayons égaux et

badSk?

problAmb V.

I» S’il faut diviser l’arc AB en deux parties égales,

rayon, décrivez deux arc, qui ,e coupent en D; par le point D et par le centre G tirez CD qui coupera^’arc AB en deux parties égales au point E. ^

Car les deux points G et D sont chacun également disums des extrémités A et B de la corde AB; donc a ligne CD est perpendiculaire sur le milieu de cette corde; donc elle divise l’arc AB en deux parties égales au point E *. r g

a-' sa laut diviser en deux parties égaies l’angle ACB, on commencera par décrire du soiiimei G comme cenue, l'arc AB, et le reste comme il v.e..; deire dit. 11 est clair que la ligne CD divisera en deux parties égalés l'angle ACB.

«tf U-

fi, 1.

^ 5l CBOUÉTKIB.

' * ' , A^c/io/û'. On peut, par la iiiéme construction, diviser

chacune des moitiés AE, EB, en deux parties égales; , ainsi, par des sous-divisions successives, on divisera

T . . un angle ou un arc donné en quatre parties égales , en

huit, en seize , etc.

' • PRoanâME VI. < :

fig. jS. P,ar un point donné A , mener une parallèle à la ligne donnée BG.

Du point A, comme centre, et d’un rayon suffisanlment grand, décrivez l’arc indéüni EO; du point E, comme centre, et du même rayon , décrivez l’arc AF, prenez KD = AF, et tirez AD qui sera la parallèle dcmundée.

= (’ar eu joignant AE, on voit que les angles alternes

- ; AEF, E AD, sont égaux; donc les lignes AD, EF, sont • a;,, parallèles*.