PROBLÈME VIII

lig -J,. Étant donnés deux côtés B el G d’un triangle et

, - l’angle kqu’ilscomprennent, décrire le triangle.

Ayant tiré la ligne indéfinie DE, faites au point D l’angle EDF égal à l'angle donné A; prenez ensuite DG = B, DU = G, et tirez GH ; DG H sera le triangle demandé. . . - ,

LlTmS It.

raOBLÂME IX.

Étant donnés un côté et deux angles d’un triangle , décrire le triangle.

Les deux angles donnés seront ou tous deux adjacents au côté donné, ou l'un adjacent, l’autre oppo^ sé : dans ce dernier cas, cherchez le troisième*, TOUS •pfob.7. aurez ainsi les deux angles adjacents. Cela posé, tirez la droite UE égale au côté donné , faites au point D fig. 7*. l’angle EDF égal à l’un des angles adjacents , et av : . . -

point E l’angle DEG égal à l’autre; les deux lignes .

DF, EG , se couperont en H , et DEH sera le triangle requis.

PEOBLéltE X. . ■ ^

Les trois côtés À , B , C , d’un triangle étant *g- 79donnés, décrire le triangle.

Tirez DE égal au côté A; du point E, comme centre, et d’un rayon égal au second côté B, décrivez un arc ; du point D , comme centre , et d’un rayon ^

égal au troisième côté C, décrivez un autre arc qui coupera le premier en F ; tirez DF, EF, et DEF sera le triangle requis. >

Scholie. Si l’un des côtés était plus grand que U~ somme des deux autres, les arcs ne se couperaient pas ; mais la solution sera toujours possible , si la somme de deux côtés , pris comme on voudra , est plus grande que le troisième.

raoBLâitB XI.

Étant donnés deux cotés A ef B d’un triangle ^ avec l’angleC, opposé au côté B, décrire le triangle. >

Il y a deux cas : 1“ si l’angle C est droit ou obtus ^ faites l’angle EDF’ égal à l’angle C; prenez DE= A, du point E, comme centre, et d’un rayon égal au côté donné B, décrivez un arc qui coupe en F la

,^4 'ci^OUBTaiB.

ligne DF; tirm £F, et DEF sera ie triangle de* <

mandé.

' Il faut, dans ce premier cas, que le côté B soit plus grand que A , car l’angle E étant droit ou obtus, est .. le plus giand des angles du triangle ; donc le côté opposé doit être aussi le plus grand. ,

Eg. Si. l angle G est aigu, et que B soit plus grand que

A , la même construction a toujours lieu , cl DEF est le triangle requis.

11^'. 89. Mais si, l’angle G étant aigu, le côté B est moindre que A, alors l'arc décrit du centre E avec 1 e rayon EF==B, coupera le cêté DF en deux points F et 6^ situés du même côté de D ; donc il y aura deux tiian*

‘ gles DEF, DEG, qui satisferont également au problème.

. . Scho/ie. Le problème serait impossible dans ..tous

les cas, si le côté B était plus petit que la perpendiculaire abaissée de E sur la ligne DF.

PBOBnêMB Xll.

Eg 83 . Les côtés adjacents K et H d'un parallélogramme étant donnés avec V angle G qu'ils com- . prennent , décrire le parallélogramme.

Tirez la ligne DE=A, faites au point D l'angle FDEmG, prenez DF=B; décrivez deux arcs, l'un du point F comme centre , et d’un rayon FG = DE, l'autre du point E comme centre, et d’un rayon EG =1 DF : au point G , où ces deux arcs se coupent , tirez FG, ËG; et DEGF sera le parallélogramme demandé.

. ' Gar J par construction, les côtés opposés sont égaux,

* 3 o. I. donc la figure décrite est un parallélogramme*, et ce parallélogramme est formé avec les côtés donnés et l’angle donné.

Corollaire, Si l’angle donné est droit, la figure sert

l«v»b II. 55

uu rectanglej si; dé plus , les côtés sont égaux , ce sera un quarré. . •

PBOBLéMB XIII. •.

Trouver le centre d’un cercle ou d’un arc donné.

Prenez à volonté dans la circonférence ou dans fig. si. lare trois points B, Cj joignez ou imaginez qu’on joigne AB et BC, divisez ces deux lignes en deux parties égales par les perpendiculaires DE, FGj le point 0 , où ces perpendiculaires se renconuent , sera le centre cherché.

Scholie. La même construction sert à faire passer une circonférence par les trois points donnésA,B, C, et aussi à décrire une circonférence dans laquelle le triangle donné ABC soit inscrit.

FBOBlAmB XIV.

Par un point donné mener une tangente à un cercle donné.

Si le point donné A est sur la circonférence, tirez **• le rayon CA, et menez AD perpendiculaire à GA;

AD sera la tangente demandée *. *9.1.

Si le point A est' hors du cercle , joignez le point “*■' **• A et le centre par la ligne droite CA; divisez GA en deux également au point O; du point O, comme centre, et du rayon OC, décrivez une circonférence qui coupera la circonférence donnée au point B; tirez AB, et AB sera la tangente demandée.

Car en menant CB, l'angle CBA, inscrit dans le ' demi-cercle, est un angle droit*; donc AB est per- *18,1. pendiculaire à l’extrémité du rayon CB , donc elle est tangente.

Scholie. Le point A étant hors du cercle, on voit qu’il y a toujours deux tangentes égales AB, AD, qui passent par le point A : elles sont égales, car les triangles rectongles CBA, CDA ont l’iiypoténuse CA

S6 G^ouiTaiB.

commune, et le côté CB=GD; donc ils sont,

égaux*; donc AD=AB, et en même temps l’angle