PROBLÈME XV

Inscrire un cercle dans un triangle donné ABC.

Divisez les angles A et B en deux également par les lignes AO et BO qui se rencontreront en O ; du point O abaissez les perpendiculaires OD, OE, OF, sur les trois côtés du triangle; je dis que ces perpendiculaires seront égales entre elles; car, par construction , l'angle DAO = OAF, l’angle droit ADO — AFO; < donc le troisième angle AOD est égal au troisième AOF. D’ailleurs le côté AO est commun aux deux triangles AOD, AOF, et les angles adjacents au côté égal sont égaux; donc ces deux triangles sont égaux ;' donc DO=OF. On prouvera de même que les deux triangles BOD, BOE, sont égaux; donc OD= OE, donc les trois perpendiculaires OD, OE, OF, sont égales entre elles.

'Maintenant si du point O, comme centre, et du' rayon OD, on décrit une circonférence, il est clair que cette circonférence sera inscrite dans le triangle ABC; car le côté AB, perpendiculaire à l’extrémité .du rayon OD, est une tangente : il en est de même des côtés fiC , AC.

Scholie. Les trois ligues qui divisent en deux égale- 'ment les trois angles d’un triangle, concourent en un même point.