OÉOMRTIIIB

BC X AD*; donc celle du. triangle =760 X AD, ou BC X 7 AD.

Corollaire. Deux triangles de même hauteur sont entre eux comme leurs hases, et deux triangles de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.

TBKOBKMB.

L'nire du trapèze ABCD est égale à sa hauteur EF, multipliée par la demi -somme des bases parallèles , AB, CD.

Par le point I , milieu du côté CB , menez KL parallèle au côté opposé AD, et prolongez DG jusqu'à la rencontre de KL.

Dans les tri.ingles IBL, ICK, on a le côté IB = IC par construction , l'angle LIB = CIK , et l’angle IBL:=ICK, puisque CK et BL sont parallèles*; donc ces triangles sont égaux * ; donc le trapèze ABCD est équivalent* au parallélogramme ADKL , et il a pour mesure EF x AL.

. Mais on a AL = DK, et puisque le triangle IBL est égai au triangle KCI, le côté BL:=CK; donc AB-pCD=AL + DK = a AL, et ainsi AL est la demi-somme des bases AB, CD; donc enfin l'aire du trapèze ABCD est égale à la hauteur £F multipliée par la demi -somme des bases AB, CD, ce qui

s'exprime ainsi : ABCD = EF x ^

Scholie. Si par le point I, milieu de BG, on mène IH, parallèle à la base AB, le point H sera aussi le milieu de AD, car la figure AHIL est un parallélogramme, ainsi que DHIK, puisque les côtés opposés sont parallèles : on a donc AH=1L et DH=IK; or, 1L=1K, puisque les triangles BIL, CIK, sont égaux; donc AH=DH.

LIVHB 111. 69

On peut remarquer que la ligne HI = A.L =

- — ; donc 1 aire du trapeze peut s exprimer aussi

par EF X HI : elle est donc égale à la hauteur du trapèze multipliée par la ligne qui joint les milieux des côtés non parallèles.

ROPOSITION VIII.

xnBoaâif E.

Si une ugne AC est divisée en deux parties AB> ''*■ BC , le quarré fait sur la ligne entière AC contiendra le quarré fait sur une partie AB , plus le quarré fait sur Vautre partie BC , plus deux fois le rectangle compris sous les deux parties -

BC, ce qu’on exprime ainsi, AC ou (AB+BC)

=ÂbVbC + a AB X BC.

Construisez le quarré AGDE, prenez AF = AB, . menez FG parallèle à AC , et BH parallèle à A£.

Le quarré ABCD est divisé en .quatre parties: la première ABIF est le quairé fait sur AB, puisqu’on a pris AF=AB: la seconde IGDH est le quarré fait sur BC; car puisqu’on a AC = AE, et AB=AF, la *. différence AC — AB est égale à la différence AE — AF, ce qui donne BC=EF ; mais à cause des parallèles IG=:BC, et DG=EF, donc HIGD est égal au quarré fait sur BC. Ces deux parties étant retranchées du quarré total , il reste les deux rectangles BCGI , EFIH , qui ont chacun pour mesure AB x BC ; ^ donc le quarré fait sur AÇ, etc.

Soholu. Cette proposition revient à celle qu’on démontre en algèbre pour la formation du quarré d’un binôme, et qui est ainsi exprimée:

D:ÿiîiiOd Liv Googit

GKOMBT n I R.

• TniioilBMB.

'<*7- \St la ligne \C est la différence des deux lignes AB, RC , le quarré fait sur AC contiendra le quart è de A i^^plus le quatré de BC. , moins deux fois le rectangle fait sur AB ef BC ; c’est-à-dire

qu'on aura .AC ou (AB — BC) = AB | BC — aABxBC.

- Construisez le quarré ABIF , prenez AE = AC , menez CG parallèle à BI , HK parallèle à AB, et achevez le quarré EFLK.

Les deux rectangles CBIG , GLKD , ont chacun poui' mesure ABxBC : si on les retranche de la figure entière ABILKEA, qui a pour valeur AB + BC, il est clair qu’il restera le quarré ACDE, donc, etc. Scholie. Cette proposition revient à la formule d’al- • gèbre (a — by — a'-\-b‘‘—-'xab.

^ TaÉORBME.

. io8 Le rectangle fait sur la somme et la différence de deux lignes , est égal à la différence des quarrés de ces lignes: ainsi on a ( AB-f- BC) x

( AB— BC)=ÂT{— ÜC’.

Construisez Sur AB et AC les quarrés ABIF , ACDE ; prolongez AB d’une quantité BK = BC , et achevez le rectangle AELE.

La base AK du rectangle est la somme des deux lignes AB , BC , sa hauteur AE est la diflérence de ces mêmes lignes ; donc le rectangle, AKLF.= ( AB + BC) X (AB — BC). Mais ce même rectangle est composé des deux parties ABIIE 4- BHLK ; et

la partie BMLK èst égale au rertangle EDOF, car nn=DE et IiK=EF; donc AKLE=ABHE+EDGF.

Or, ces deux parties forment le quarrë ABIF moins le quarré DHIG, qui est le quarré fait sur BC; donc

enfin (AB + BG) X (AB— BG)=ÂB— BG.’

Scholie. Gelte proposition revient à la formule d’algèbre (« — i)=:o’ — b'.

TBioRÂMB.

Le quarré fait sur V hypoténuse d’un triangle rectangle est égal à la somme des quarrés faits sur les deux autres côtés.

Soit ABC un triangle rectangle en A : ayant formé des quarrés sur les trois côtés, abaissez de l’angln droit sur l'hypoténuse la perpendiculaire AD que TOUS prolongerez jusqu’en E ; tirez ensuite les diagonales AF, CH.

L’angle ABF est composé de l'angle ABC pins l’angle droit CBF : l’angle CBH est composé du même ' angle ABC plus l’angle droit ABH ; donc l’angle ABF = HBG. Mais AB = BH comme côtés d’un même ■quarré, et BF=BC par la même raison j donc les triangles ABF , HBG, ont un angle égal compris entre côtés égaux ; donc ils sont égaux*. * (

Le triangle ABF est la moitié du rectangle BDEF ,

(ou pour abréger BE) qui a même base BF et même hauteur BD *. Le triangle HBG est pareillement la *pr moitié du quarré AH car l’angle BAC étant droit ainsi que BAL , AC et AL ne font qu’une même ligne droite parallèle à HB; donc le triangle HBG et le quarré AH , qui ont la base commune BH , ont aussi la hauteur commune' AB ; donc le triangle est la moitié du quarié.

UKOMixaiE.

On a déjà prouvé que le triangle ABF est égal au triangle HBC; donc le rectangle BDEF, douÛe du J triangle ABF, est équivalent au quarré’AH, double du triangle HBC. On démontrera de même que le rec*

* tangle CDEG est équivalent au quarré AI ; mais les deux rectangles BDEF, CDEG, pris ensemble, font le quarré BCGF ; doue le quarré BCGF , fait sur l’hypo-

' ténuse , est égal à la somme des quarrés ABHL , ACIK ,

faits sur les deux autres côtés; ou, en d’autres termes»

bc=âbVâc*.

Corollaire I. Donc le quarré d'un des côtés de l'angle droit est égal au quarré de l’hypoténuse moins le quarré de l’autre côté , ce qu’on exprime ainsi :

ÂC.

Kg. Çorollaire II. Soit ABCD uu quarré, AC sa dia-

gonale ; le triangle ABC étant rectangle et isoscèle ,

on auia AC = AB-h BC= aAB ; donc le quarré jait sur la diagonale AC est double du quarré fait sur le côté AB.

On peut rendre sensible cette propriété en menant par les points A et C des parallèles à BD, et par les points B et D des parallèles à AC : on formera ainsi un nouveau quarré EFGH qui seia le quarré de AC. * Or, on voit que EFGH contient huit triangles égaux à ABE, et que ABCD en contient quatre; donc le quarré EFGH est double de ABCD.

Puisque AC : AB :: a : i , on a , en extrayant la racine quarrée, AC : AB : : i/a : i ; donc la diagonal* d'un quarré est incommensurable avec son côté.

C'est ce qu’on développera davantage dans une autre

V occasion.

• - f;{. 109. Corollaire lU. On a démontré que le quarré AH

est équivalent au rectangle BDEF ; or , à cause de la

• ' hauteur commune BF, le quarré BCGF est au rec-

Dighized by

LITKB III.

Ungle BDEF comme la base BC est à la base BD ; donc ,

BC’: Âb’: : BC : BD.

Donc le qiiarré de Phypoténuse est au quarrè d'un, des côtés de Fangle droit comme Vhypoténuse est au segment adjacent a ce côté. On appelle ici segment la partie de l’hypoténuse déterminée par la perpendiculaire abaissée de l’angle droit j ainsi BD est le segment adjacent au côté AB, et DG est le segment adjacent au côté AC. On aurait semblablement,