BC’: ÂC’:: BC : CD

Corollaire IV. Les rectangles BDEF, DCGE, ayant aussi la môme hauteur, sont entre eux comme leurs bases BD, CD. Or, ces rectangles sont équivalents aux

quarrés AB , AC ; donc , '.. .

Âb’: Âc’ :: bd : DC. ' . * -

Donc les quarrés des deux côtés de l'angle droit sont entre eux comme les segments de l'hypoténuse adjacents a ces côtés.

THÉOBBMB.

Dans un triangle ABC, si l'angle C est aigu, le quarrè du côté opposé sera plus petit que la somme des quarrés des côtés qui comprennent l’angle C-, et si l’on abaisse AD perpendiculaire sur BC , la différence sera égale au double du rectangle BC x CD ; de sorte qu'on aura,

Âb’=Âg’+ BC’— 2 BC X CD.

Il y a deux cas. 1° Si la perpendiculaire tombe audedans du triangle ABC , on aura BD=BC — CD,

et par conséquent * BD = BC -F CD — 2 BC X CD. * 9. . , ,

»v>“Vi%

Ajoutant de part et d’autre AD, et observant que Içs triangles rectangles ABD, ADC, donnent AD-|- *BD=:AB et AD+DC=rAC,on aura AB=BG + ÂC— aBCxCD.

a° Si la perpendiculaire AD tombe hors du triangle ABC , on aura BD = CD — BC , et par conséquent*

BD = CD-|-BC — a CD X Bd Ajoutant de part et d'autre AD, on en conclura de même,

* ÂB = BcVÂC— aBCxCD.

THÉORÂltB.

- -fc** .

figk ni. Dans un triangle ABC, si V angle C est obtus ^ ‘

J.' ^ , , le quarré du côté opposé A B sera plus grand •- ^ '

% ' que la somme des quarrés des côtés qui com- 1

. prennent l'angle C , et si on abaisse AD peri>en- . '

* diculaire sur BC , la différence sera égale au ■ 'double durectangleWt^>(.CAYi,desortequ'onaura,,

j V ^ Âiî ^ ÂC + BCV a BC X CD.

La perpendiculaire ne peut pas tomber au-dedans du triangle; car si elle tombait, par exemple, en E, le triangle ACE aurait à la fois l'angle droit E et l’angle obtus C, ce qui est impossible*; donc elle tombe au dehors, et on a BD=:BC-f-CD. De là

.g résulte* BD = BC + CD-|- a BCxCD. Ajoutant de

part et d'autre AD et faisant les réductions comme

dans le théorème précédent , on en conclura AB

= BC+ÂC + aBCxCD.

Scholie. Le triangle rectangle est le seul dans le- , quel la somme des quarrés de deux côtés soit égale

jr

‘ * fc ^

au quarrë fin troûième; car si l'angle compris par ces cdtés est aigu , la somme <le leurs quarres sera plus grande que le qnarré du côté opposé; s’il est obtus, elle sera moindre.

PROPOSitlOIV XIV.

TBEOBBXK.

Dans un triangle quelconque AB('., si on mène •’k-m du sommet au milieu de la base la ligne AE,ye

dis qu'on aura + hC—‘i Abaissez la perpendiculaire AD sur la base BG, le . triangle AEC donnera par le théorème xii,

■ÂC=ÂÈVËG— a EC X ED.

Le triangle ABE donnera par le tbeoréme xuiy

ÂB= ÂË’-f ÊB*4- a EB X ED.

Donc, en ajoutant et observant que FÆ=EC, on aura,

Âb’-+-ÂC= a ÂËV a ËB.’

Corollaire. Donc, dam tout parallélogramme ^ la somme des quarrés des côtés est égale a la somme des quarrés des diagonales.

Car les diagonales AC, BD, se coupent mutuelle- Sg-ti3. ''

ment en deux parties égales au point E*; ainsi le « triangle ABC donne ,

ÂB + BC=aÂË4-a BÊ’ ' .

Le triangle ADC donne pareillement, ix’» ' * ■

J JT

V ,fK-

AD-+-DC=aAE-+-aDE.

Ajoutant membre à membre, en observant que BR== DE, on aura ,

ÂB V M)V i)c Vl^= 4 V 4 1 ^-

Mais 4 AE est le quand de aAE ou de AC; 4 DE est le qnarré de BD; donc la somme des quarrés des bôtés est égale à la somme des quarrés des diagonales.

■.fe-

. y PïV* «ïS' i

, GKOlléTaiB.

' THÉORÂME.

ii(. m. 1^0. ligne DE , menée parallèlement à la base d'un triangle ABC , divise les côtés AB, AC, proportionnellement ; de sorte qu’on a AD : DB : : AE : EC.

Joignez DE et DC; les deux triangles BDE, DEC, ont même base DE ; ils ont aussi même hauteur, puisque les sommets B et C sont situés sur une paral- < 3 , lèlc à la base; donc ces triangles sont équivalents''.

Les triangles ADE, BDE, dont le sommet commun est E , ont même hauteur et sont entre eux comme * ^ leurs bases AD , DB * ; ainsi on a ,