AB : BD :: AC : CE

6g. ii5. CoroUaifc II. Si entre deux droites AB, CD, on mène tant de parallèles qu’on voudra AC, EF, GH, BD, etc., ces droites seront coupées proportionnellement , et on aura AE : CF : : EG : FH : ; GB : HD.

Car soit O le point de concours des droites AB , CD; dans le triangle OEF, où la ligne AC est menée parallèlement à la base EF, on aura OE : AE : : OF : CF , ou OE : OF : : AE : CF. Dans le triangle OGH, on aura semblablement OE : EG : : OF : FH, ou OE : OF : : E G : F H ; donc , à cause du rapport commun :

, MVHE'III. 77

OE : OF , ces deux proportions donnent AE : CF : : EG : FH. On démontrera de la même manière que EG : FH;:GB:HD, et ainsi de suite; donc les lignes AB, CD, sont coupées proportionnellement par les parallèles EF, GH, etc.

théorIkk.

Réciproquement si les côtés AB , AC , sont coupés proportionnellement par la ligne DE, en sorte qu’on ait AD : DB : : AE : EC , je dis que la ligne DE sera parallèle à la base BC.

Car si DE n'est pas parallèle à BC , supposons que DO en soit une; alors, suivant le théorème précédent, on aura AD:BD: : AO:OC. Mais, par hypothèse , AD : DB : : AE : EC ; donc on aurait AO : OC : : AE:EC; proportion impossible, puisque d’une part l’antécédent AE est plus grand que AO , et que de l’autre le conséquent EC est plus petit que OC ; donc la parallèle à BC menée par le point D ne peut différer de DE; donc DE est cette parallèle.

Scholie. La même conclusion aurait lieu si on supposait la proportion AB: AD:: AC; AE. Car cette proportion donnerait AB — AD:AD::AC — A£:AE, oti BD:AD::CE:AE.

TBéoajIm.

La ligne AD , qui divise en deux parties égales l'angle BAC d’un triangle, divisera la base BC en deux segments Bü , DC , proportionnels aux côtés adjacents AB, AC; de sorte qu’on aura BD:DC:: AB:AC.

fig.it».

*g. tiji

^3 GSOttBTBifc.

Par le point C menez CE parallèle à AD jnaqu*à la rencontre de BA prolongé.

'Dans le triangle BCE, la ligne AD est paralfèle à la base CE; ainsi on a la proportion BD:DC::AB:AE.

Mais le triangle ACE est isoscèle ; car, à cause des parallèles AD, CE, l’angle ACE=DAC, et l’angle «i''* AEC=BAD * : or, par hypothèse, DAC=BAD; donc l’angle ACEnrAEC, et par suite AE= AC * ; substituant donc AC à la place de AE dans la proportion précédente, on aura,