AB:DC::AC:DE::BC:CE

THBOHâlIB.

Deux triangles qui ont les côtés homologues ’’

proportionnels, sont équiangles et semblables.

Supposons qu’on ait BC : Eb’ : ; AB : l)E : : AC : DF , Ss- >»«. je dis que les triangles ABC , DEF, auront les angles égaux, savoir. A— D, BmE, C=F.

8o GéouÉTRIE.

Faites au point E l’angle rEG=B‘ et au point F l'angle EFG=C, In troisième ^G sera égal au troisième A , et les deux triangles ABC , EFG , seront ' ëquiangles ; donc on aura par le théorème précédent BC:EF:: AB:EG : mais, par hypothèse, BC:EF::

AB: DE; donc EG = DE. On aura encore, par le même théorème, BC:EF : :AC:FG ; or on a, par hypothèse , BC : EF : : AC : DF , donc FG = DF ; donc les triangles EGF, DEF, ont les trois côtés égaux * 11 , >■ chacun à chacun; donc ils sont égaux*. Mais, par construction , le triangle EGF est équiangle au triangle ABC ; donc aussi les triangles DEF , ABC , sont équiangles et semblables.

Scholie I. On voit par ces deux dernières propositions, que dans les triangles, l'égalité des angles est' une suite de la proportionnalité des côtés, et réciproquement, de sorte qu’une de ces conditions suffit pour assiu%r la similitude des triangles. Il n'en ' est pas de même dans les figures de plus de trois côtés; car, dès qu’il s’agit seulement des quadrilatères, on peut, sans changer les angles, altérer la proportion des côtés , ou , sans altérer les côtés , changer les angles; ainsi la proportionnalité des côtés ne peut être une suite de l égalité des angles, ni Cg. lai. "vice versa. On voit, par exemple, qu’en menant EF parallèle à BC, les angles du quadrilatère AEFD sont égaux à ceux du quadrilatère ABCD ; mais la proportion des côtés est différente : de même , sans changer les quatre côtés AB, BC, CD, AD, on peut rapprocher ou éloigner le point B du point D , ce qui altérera les angles.

Scholie 11. Les deux propositions précédentes qtti n’en font proprement qu’une, jointes à celle du quatré de l’hypoténuse , sont les propositions les plus importantes et les plus fécondes de la géométrie; elles suffisent presque seules à toutes les applications