LI V RE III

et à la résolution de tous les problèmes : la raison en est que toutes les figures peuvent se partager en triangles, et un triangle quelconque en deux triangles rectangles. Ainsi les propriétés générales des triangles renferment implicitement celles de toutes les figures.

THÉOnéME.

Deux triangles qui ont un angle égal compris entre côtés proportionnels , sont semblables.

Soit l’angle A = D, et supposons qu’on a AB: Sg m. DE : : AC : DF ; je dis que le triangle ABC est semblable à DEF.

Prenez AG = DE et menez GH parallèle à BC^ l’angle AGH sera égal à l’angle ABC*; et le triangle *»<•» AGH sera équiangle au triangle ABC ; on aura donc AB: AG :: AC: AH: mais, par hypothèse , AB: DE::

AC : DF , et par construction AG = DE ; donc AH =

DF. Les deux triangles AGH , DEF , ont donc un angle égal compris entre côtés égaux ; donc ils son t égaux. Or le triangle AGH est semblable à ABC; donc DEF est aussi semblable à ABC.

THÉORÈME

Deux triangles qui ont les côtés homologues parallèles, ou qui les ont perpendiculaires chacun à chacun , sont semblables.

Gor, 1° si le côte AB est parallèle à DE , et BC à sg. iiJ. EF , l'angle ABC sera égal à DEF* ; si de plus AC est parallèle à DF , l’angle ACB sera égal à DF'E , et aussi

*ïo, I.

8a cioMBT&ie.

BAC à EDF : donc les triangles ABC, DEF, sont équiangles ; donc ils sont semblables.

a° Soit le côté DE perpendiculaire à AB, et le côté DF à AC ; dans le quadrilatère AIDH les deux angles 1 et H seront droits ; les quatre angles valent ensemble quatre angles droits * ; donc les deux resumts lAH , IDH, valent deux angles droits. Mais le* deux angles EDF , IDH , valent aussi deux angles droits ; donc l’angle EDF est égal à lAH ou BAC : pareillement si le troisième côté EF est perpendiculaire au troisième BC, on démontrera que i’angle DFE=C, et DEF=B ; doue les deux triangles ABC, DEF, qui ont les côtés perpendiculaires chacun à chacun , sont équiangles et semblables. ^

Scholie. Dans le cas des côtés parallèles , les côtés homologues sont les côtés parallèles , et , dans celui des côtés perpendiculaires , ce sont les côtés perpendiculaires. Ainsi, dans ce dernier cas, DE est homologue à AB, DF à AC, et £F à BC.

Le cas des côtés perpendiculaires pourrait offrir une situation relative des deux triangles , différente de celle qui est supposée dans la fig. i a4 ; maia l’égalité des angles respectifs se démontrerait toujours , soit par des quadrilatères tels que AIDH, dont deux angles sont droits , soit par la comparaison de deux triangles qui , avec des angles opposés au sommet , auraient chacun un angle droit: d'ailleurs, on pourrait toujours supposer qu’on a construit au-dedans du triangle ABC un triangle DEF, dont les côtés seraient parallèles à ceux du triangle comparé à ABC, et alors la démonstration rentrerait dans le cas de la fig. ia4.

LlVtlE Ui.

t>ROPOSITIOJî XX.11.

THÉORâMB.

Les lignes AF, AG, etc., menées comme on vou- fis. ns. dra par le sommet d'un triangle, divisent proportionnellement la hase BC et sa parallèle DE , de sorte qu'on a DI ; BF ; : IK ; FG ; : K.L ; GH , etc.

Car, puisque DI est parallèle à BF, le triangle ADI est équiangle à ABF, et on a la proportion DI:BF:: AI:AF ; de même IK. étant parallèle à FG, , on a Al.'AF 1K:FG ; <lonc , à cause du rapport commun Al; AF, on aura D1:BF IK:FG. On trouvera semblablement 1K:FG :: KL:GH, etc.; donc la ligne D£ est divisée aux points 1 , K , L, comme la base BC l’est aux points F, G, H.

Corollaire. Donc , si BC était divisée en parties égales aux points F, G, H, la parallèle DE serait divisée de même en parties égales aux points 1 , K, L.

THÉORÈME

Si de l'angle droit A d'un triangle rectangle on sg. i»6. abaisse la perpendiculaire AD sur l'hypoténuse ^ .

1 “ Les deux triangles partiels A BD, ADC, seront semblables entre eux et au triangle total ABC ;

Chaque côté AB ou AC sera moyen pro- portionnel entre l'hypoténuse BC et le segment adjacent BD ou DC ;

3“ La perpendiculaire AD sera moyenne proportionnelle entre les deux segments BD, DC.

Car, 1 ° le triangle BAD et le triangle BAG ont l’angle commun B ; de plus l’angle droit BDA.est égal à l’angle droit BAC ; donc le troisième angle BAD de l’un est égal au troisième C de l’autre ; donc

géométrie.

ces deux triangleâ sont équiangles et semblables. Ou démontrera de même que le triangle DAC est semblable au triangle BAC; donc les trois triangles sont équiangles et semblables entre eux.

2 ° Puisque le triangle BAD est semblable au triangle BAC, leurs côtés homologues sont proportionnels. Or, le côté BD dans le petit triangle est homologue à BA dans le grand , parce qu’ils sont opposés à des angles égaux , BAD, BCA ; l’hypoténuse BA du petit est homologue à l’hypoténuse BC du grand ; donc on peut former la proportion BD ; BA :: BA : BC. On aurait de la même manière DC: AC :: AC:BC; donc, a" chacun des côtés AB, AC, est moyen proportionnel entre l’hypoténuse et le segment adjacent à ce côté.

3“ Enfin, la similitude des triangles ABD, ADC, donne , en comparant les côtés homologues , BD: AD;:AD:DC; donc, 3" la perpendiculaire AD est moyenne proportionnelle entre les segments BD, DC de l'hypoténuse.

Sc/iolie. La proportion BD:AB;:AB:BC donne, en égalant le produit des extrêmes à celui des moyens,

Âb’= bd X BC. On a de même AC = DC X BC ,

donc Âü ’+ AC = BD x BC -4- DC X BC ; le second membre est la même chose que (BD-f-DC) X BC,

et il se réduit à BC X BC ou BC ; donc on a AB

AC* = BC ; donc le quarré fait sur l’hypoténuse BC est égal à la somme des quarrés faits sur les deux autres côtés AB , AC. Nous retombons ainsi sur la proposition du quarré de l’hypoténuse par une voie très^iflérente de celle que nous avions suivie ; tl’où l’on voit qu’à proprement parler , la proposition du quarré de l’hypoténuse est une suite de la proportionnalité des côtés dans les triangles équiangles.

LIVHB III.

Ainsi les propositions fondamentales de la géométrie se réduisent, pour ainsi dire, à celle-ci seule, que les triangles équiangles ont leurs côtés homologues proportionnels.

Il arrive souvent, comme on vient d’en voir un exemple, qu’en tirant des conséquences d’une ou de plusieurs propositions, on retombe sur des propositions déjà démontrées. En général, ce qui caractérise particulièrement les théorèmes de géométrie, et ce qui est une preuve invincible de leur certitude , c’est qu'en les combinant ensemble d’une manière quel- ' conque , pouryu qu’on raisonne juste , on tombe toujours sur des résultats exacts. Il n’en serait pas de même si quelque proposition était fausse, ou n'était vraie qu’à-pen-près ; il arriverait souvent que , par ‘ la combinaison des propositions entre elles, l’erreur s'accroîtrait et deviendrait sensible. C’est ce dont on voit des exemples dans toutes les démonstrations où nous nous servons de la réduction a Fabsurde. Ces démonstrations , où l’on a pour but de prouver que deux quantités sont égales, consistent à faire voir que, s’il y avait entre elles la moindre inégalité , on serait conduit par la suite des raisonnements à une absurdité manifeste et palpable ; d'où l’on est obligé de conclure que ces deux quantités sont égales.

Corollaire, Si d’un point A de la circonférence on **• mène les deux cordes AB , AC , aux extrémités du diamètre BC , le triangle BAC sera rectangle en A * j **’ *’ donc, \° la perpendiculaire AD est mojrennc prooortionnelle entre les deux segments BD, DC, du diamètre, ou, ce qui revient au même, le quarré AD est égal au rectangle BD x DC.

a“ La corde AB est moyenne proportionnelle entre le diamètre BC et le segment adjacent BD , ou , ce ♦

qui revient au même , AB=BD x BC, On a sem-

baLlemeiit AC=CüxflC; donc Âb’;Âc’:: BD: DC ; et si on compare AR à Bcj on aura ÂB :BC^ BD. BC ^

• on aurait de même AC:BC:: DCiBC. Ces rapports des quarrés des côtes , soit entre eux , soit avec le quarré de l’hypoténuse, ont été déjà donnés dans les corol. III et IV de la prop. xi.

THBOBBMB.

IJt'UX triangles qui ont un angle égal sont entre eux comme les rectangles des côtés qui 6g. n8. comprennent i angle égal. Ainsi le triangle

est au triangle ADE comme le rectangle kh x AC est au rectangle ADxAE.

Tirez BEj les deux triangles ABE, ADE, dont le sommet commun est E, ont même hauteur, et sont *«. entre eux comme leurs bases AB, AD * ; donc, ABE:ADE::AB:A1).

On a de même,

ABCrABE:; AC:AE.

Multipliant ces deux proportions par ordre, et omettant le commun terme ABE, on aura,

ABC ; ADE :: AB X AC .ADxAE.

• Corollaire. Donc les deux triangles seraient équivalente , si le rectangle ABx AC était égal au lecungle ADxAE, ou si on avait AB: AD AE:AC, ce qui aurait lieu si la ligne DC était parallèle à BE.

‘ TRBOaâMB.

Deux triangles semblables sont entre eux comme les quarrés des côtés homologues

LIV*H iir. 87

' Soit l’angle A.— D et l’angle B=E; d’abord à cause des angles égaux A et D, on aura, par la proposition précédente,

ABC:DEF:: ABx AG:DExDF.

On a d’ailleurs, à came delà similitude des triangles, AB;DE:: AC:DF.

Et si on multiplie cette proportion terme à terme par la proportion identique,