ABC: DEF.: AC: DF

Donc deux triangles semblables ABC , DEF, sont entre eux comme les quarrés des côtés homologues AC , DF, ou comme les quarrés de deux autres côtés homologues quelconques.

THSOaâHB,

Deux polygones semblables sont composés d'un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement disposés.

Dans le polygone ABCDË, menez d’un même angle Cg.

. A les diagonales AC, AD aux autres angles. Dans l'autre polygone FGHIK, menez semblablement de l’angle F homologue à A, les diagonales FH, Fl aux autres angles.

Puisque les polygones sont semblables, l’angle ABC est égal à son homologue FGH *, et de pim les côtés Méf. «. AB, BC, sont proportionnels aux côtés FG, GHj de sorte qu’on a AB:FG:: OC: GH. Il suit de là que les , triangles ABC , FGH , ont un angle égal compris entre côtés proportionnels; donc ils sont sembla-

88 GÉOMBTHIB.

* «O. blés * ; donc l’angle BCA est égal à GHF. Ces angles égaux étant retranchés des angles égaux BCD, GHI, les restes ACD, FHI seront égaux : mais puisque les triangles ABC, FGH sont semblables, on a AC:

FH :: BC:GH; d’ailleurs, à cause de la similitude des • <Wf. a. polygones * , BC : GH :: CD : HI ; donc AC : FH : : CD : HI : mais on a déjà vu que l’angle ACD=FHI j donc les triangles ACD, FHI, ont un angle égal compris entre côtés proportionnels, donc ils sont semblables. On continueimt de même à démontrer la similitude des triangles suivants, quel que fftt le nombre des côtés dés polygones proposés ; donc deux jxilygones semblables sont composés d'un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés.

Scholie. La proposition inverse est également vraie : Si deux polygones sont composés d'un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés, ces deux poly gones seront semblables.

Car la similitude des triangles respectifs donnera l’angle ABC=FGH, BCA = GHF, ACD=FH1 ; donc BCD = GHI, de même CDE=HLK, etc. De plus, on aura AB:FG BC:GH :: AC:FII :: CD;HI, etc. ; donc les deux polygones ont les angles égaux et les côtés proportionnels; donc ils sont semblables.

THBOKBMB.

//«5 contours ou périmètres des polygones semblables sont comme les côtés homologues, et leurs surfaces sont comme les quarrés de ces mêmes côtés.

(Ig. 139- Car, i" puisqu’on a, par la nature des figures semblables , AB : FG :: BC : GH CD : HI, etc. , on

LIVSS lit.

peut conclure de celle suite de rapports «gaux : La somme des antécédents AB + BC + CD, etc., périmètre de la première figure, est à la somme «les conséquents FG-l-GH-l-HI , etc. , périmètre de la seconde figure , comme un antécédent est à son conséquent , ou comme le côté AB est à son homologue FG.

a° Puisque les triangles ABC, FGH sont semblables , on a * ABC : FGH :: AC : FH ; de même les * *5. triangles semblables ACD, FHI , donnent ACD ; FHI AC : FH ; donc , à cause du rapport commun

AC : FH, on a,