OB:OC:;OD : OA

. Corollaire. Donc le rectangle OAxOB, est égal au rectangle OC X OD.

Scholie. On peut remarquer que cette proposition a beaucoup d’analogie avec la précédente, et qu’elle

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n’en différé qu en ce que les deux cordes AB , CD, au lieu de se couper dans le cercle , se coupent au dehors. La proposition suivante peut encore être r^ardëe comme un cas particulier de celle-ci.

THÉObÂMI!.

Si d’un même point O pris hors du cercle on ®g- «3»mène une tangente OS. et une sécante OC, la tangente sera moyenne proportionnelle entre la sécante et sa partie extérieure ; de sorte quon aura OC ; OA ; : OA : OD -, nu, ce qui revient au même, OA— OCxOD.

Car, en joignant AD et AC, les triangles OAD,

OAC, ont l’angle O commun; de plus l’angle OAD, formë par une tangente et une corde *, a pour mesure * ‘9* *• la moitié de l’arc AD, et l’angle C a la même mesure; donc l’angle OAD=C ; donc les deux triangles sont semblables et on a la proportion,

OC: OA: :OA:OD, qui donne OA=OCxOD.

TH BOBBHB.

Dans un triangle ABC , si on divise l’angle A en deux fig- t33. parties égales par lu ligne AD , U rectangle des cétés AB ,

AC , sera égal au rectan^e des segments BD , DC , plus au quarré de la sécante AD.

Faites passer une circonférence par les trois points A, B,

C, prolongez AD jusqu'à la circonférence , et joignez CE.

Le triangle BAD est semblable an triangle EAC; car, par hypothèse, l'angle BAD = EAC; déplus l'angle B = E, puisqu'ils ont tous deux pour mesure la moitié de l'arc AC ; donc ces triangles sont semblables , et les côtés homologues ponnent la proportion BA : AE :: AD : ÔC : <Ie là résulte

pa* CÉOlfiTRIE. '

BAxAC = AKxAD; mais AE=AD-|-DE, et en multi- • pliant de part et d’autre par AD, on a AExAD=AD-|- > •»*. ADXDE; d’ailleurs AD X DE=BD X DC * ; donc enfin

BAXAC=ÂD+BDXDC.

THEOREME.

Drt/if tout triangle ABC, le rectangle des deux côtés AB, AtJ, est égal au rectangle compris par le diamètre CK, du cercle circonscrit et la perpendiculaire AI) abaissée sur le troisième côté BC.

Car, en joignant AE, les triangles ABD, AEC, sont t«ctangles, l’un en D, l'autre en A; de plus l’angle B=E; donc ces triangles sont semblables , et ils donnent la proportion AB;CE::AD:AC; d’on résulte AB XAC= CE x AD.

Corollaire. Si on multiplie ces quantités égales par la même quantité BC,on aura ABx ACxBC=C£XADxBC.

Or, ADXBC est le double de la surface du triangle*; donc le proiluit des trois côtés d'un triangle est égal à sa surface multipliée par le double du diamètre du cercle circonscrit.

Le produit de trois lignes s’appelle quelquefois un solide, par une raison qu’on verra ei-apres. Sa valeur se conçoit aisément, en imaginant que les lignes sont réduites en nom- . bres, et multipliant les nombres dont il s'agit.

Scliolie. On peut démontrer aussi que la surface d'un triangle est égale à son périmètre multiplié par la moitié du rayon du cercle inscrit.

Car les triangles AOB, BOC, AOC, qui ont leur sommet commun en O, ont pour hauteur commune le rayon du cercle inscrit ; donc la somme de ces triangles sera égale a la somme des bases AB , BC , AC , multipliée par la moitié du rayon OD ; donc la surface du triangle ABC est égale à son périmètre multiplié par la moitié du rayon du cercle inscrit.

THBORâlfS.

Dant tout quadrilatère inscrit ABCD , le rectangle des 6g. deua: diagonales AC, BD, est égal à la somme des rectangles des côtés opposés , de sorte qu'on a

AC X BD z= AB X CD+AD X BC.

Prenez l’arc CO=AD , et tirez BO qui rencontre la diagonale AC en I.

L’angle ABD=CBI, puisque l’un a pour mesure la moitié de AD, et l’autre la moitié de CO égal à AD. L’angle ADB= ' BCl, parce qu’ils sont inscrits dans le même segment AOB> donc le triangle ABD est semblable au triangle IBC, et on a la proportion AD:CI::BD:BC ; d’où résulte AD vwr —

CI X BD. Je dis maintenant que le triangle ABI est semblable au triangle BDC; car l’arc AD étant égal à CO, si on ajoute de part et d'antre OD, on aura l’arc AO =DC; donc l’angle ABI=:DBC; de plus l'angle BAI=BDC, parce qu’ils sont inscrits dans le même segment ; donc les triangles ABI,DBC, sont semblables, et les c&tés homologues donnent la proportion AB:BD:: AJrCD; d'où résulte ABxCDzzrAIxBD.

Ajoutant les deux résultats trouvés, et observant que A1XBD+CIXBD=(AI-1-CI)XBD=ACXBD, on aura AD X BC -F AB X CD = AC X bd.

Seholie. On peut démontrer de la même manière un autre théorème sur le quadrilatère inscrit.

Le triangle ABD semblable à BIC, donne la proportion BD:BC;: AB:BI, d’où résulte BIxBD = BCxAB. Si on joint CO, le triangle ICO, semblable à ABI, sera semblable à BDC, et donnera la proportion BD:CO DC.OI ; d’où résulte OIxBD=COxDC, ou, à cause de CO=AD,

01 X BD=AD X DC. Ajoutant les deux résultats , et observant que BI X BD-f-OI X BD se réduit à BO X BD, on aura BO X BD=AB X BC-1- AD X DC.

Si on eût pris BP=AD, et qu’on eût tiré CKP, on aurait trouvé par des raisonnements semblables,