LIV HK III
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PROBLKHR XV.
Construite une figure semblable à une figure donnée , et qui soit à cette figure dans le rapfrort donné <if> M à N.
Soit A un côté de la figure donnée, X le côté homologue dans la figure cherchée; il faudra que le quarré de X soit au quarré de A comme M est à N On troiu * vera donc X par le problème xii; connaissant X , le reste s’achèvei-a par le problème xiii.
PBOBLèKB XTI.
Construire une figure semblable à la figure P et équivalente à la figure Q.
Cherchez le côté M du quarré équivalent à la figure P , et le côté N du quarré équivalen t à la figure Q. Soit ensuite X une quatrième proportionnelle aux trois lignes données M , N, AB ; sur le côté X , homologue à AB, décrivez une figure semblable i la figure P ; je dis qu'elle sera de plus équivalente à la figure Q.
Car en appelant Y la figure faite sur le côté X , on - • »
aura P:Y AB:X; mais, par construction , AB:X;;
M:N, ou AB:X::M:N; donc P:Y,:M;N. Mais on a aussi, par construction, M* = P et N’=Q; donc P:Y P:Q; donc Y=:Q; donc la figure Y est semblable à la figure P, et équivalente à la figure Q.
PHOBI.B11E XVII.
Construire un rectangle équivalent à un Hquarré donné C , et dont les côtés adjacents fassent une somme donnée AB.
Sur AB, comme diamètre, décrivez une demi-circonférence , menez parallèlement an diamètre la ligne El) à une distance AD égale au côté du quarré donnéC •
lo4 GBOMBTalH.
. Du point £ , où la parallèle coupe la circonférence,
. abaissez sur le diamètre la perpendiculaire EP' ; je dis que AF et FB seront les côtés du rectangle cherché.
Car leur somme est égale à AB; et leur rectangle • * »3. AF X FB est égal au quarré de EF * , ou au quarré de AD; donc ce rectangle est équivalent au quarré donné C.
Scholie. Il faut, pour que le problème soit possible; que la distance AD n'excède pas le rayon , c'est-à-dire que le côté du quarré C n’excède pas la moitié de la ligne AB.
VROBLÊIIE XVIII.
*■ , ■ Constmire un rectangle équivalent à un quarré C , et dont les côtés adjacents aient entre eux la différence donnée AB.
, Sur la ligne donnée AB , comme diamètre , décri-
vez une circonférence; à l’extrémité du diamètre, menez la tangente AD égale au côté du quarré C : par le point D et le centre O tirez la sécante DE; je dis que DE et DF seront les côtés adjacents du rectangle demandé.
Car i” la différence de ces côtés est égale au diamètre EF ou AB; a“ le rectangle DExDF est égal
* Jo. à AD * ; donc ce rectangle sera équivalent au quarré donné C.
rROBLBHB XIX.
Ttouvei la commune mesure, s’ il y en a une entre la diagonale et le côté du quarré.
Soit ABCG un quarré quelconque, AC sa diagonale.
11 faut d’abord porter CB sur CA autant de fois qu'il peut y être contenu *, et pour cela soit décrit du centre C et du rayon CB le demi-cercle DBE : on * voit que CB est contenu une fois dans AC avec le * ie.stc AD, le résultat de la première opération est donc
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le quotient i avec le reste AD, qu’il faut comparer
avec BC ou son égale AB.
On peut prendre AF = AD, et porter réellement AF sur ABj on trouverait qu’il y est contenu deux fois avec un reste : mais comme ce reste et les suivants vont en diminuant , et que bientôt ils échapperaient par leur petitesse , ce ne serait là qu’un moyen mécanique imparfait, d’où l’on ne pourrait rien conclure pour décider si les lignes AC, CB, ont entre elles ou n’ont pas une commune mesure : or il est un moyen très -simple d’éviter les lignes décroissantes , et de n’avoir à opéier que sur des lignes qui restent toujours de la même grandeur.
En effet , l'angle ABC étant droit , AB est une tangente, et AE une sécante menée du même point, de
sorte quon a * AD: AB :: AB:AE. Ainsi dans la se- *.3o.
conde opération , où il s'agit de comparer AD avec AB» j, on peut, au lieu du rapport de AD à AB, prendre celui de AB à aE : or AB ou «on égale CD est contenue deux fois dans AE avec le reste AD ; donc le résultat de la seconde opération est le quotient a avec le reste AD qu’il faut comparer à AB.
La troisième opération , qui consiste à comparer AD avec AB , se réduira de même à comparer AB ou son égale CD avec AE , et on aura encore 2 pour quotient et AD pour reste.
Delà on voit que l'opération ne sera jamais terminée, et qu’ainsi il n’y a pas de commune mesure entrq v' la diagonale et le côté du quarré : vérité qui était déjà connue par l’arithmétique ( puisque ces deux lignes sont entre elles :: t/ a : i)*, mais qui acquiert un ‘ plus grand degré de clarté par la résolution géo- > métrique. .
Scholie. Il n’est donc pas possible non plus de trouver en nombres le rapport exact de la diagonale au côté du quarré J mais on peut en approcher tant
-.Si jiS-
lüfl bCOUBTAlB.
qu’on voudra au moyen de la fraction continue qui est égale à ce rapport. La première opération a donné pour quotient i ; la seconde et toutes les autres à l’infini donnent a : ainsi la fraction dont il s’agit est 1 ■
. ’ ^7-1- etc. a 1 infini.
Par exemple , si on calcule cette fraction jusqu’au quatrième terme inclusivement , on trouve que sa valeur est i || ou ; de sorte que le, rapport approclié de la diagonale au côté du quarré est 4t : 39. On trouverait un rapport plus approché en calculant un plus grand nombre de termes. '
LIVRP. IV.
