RT LA MESURE DU CERCLE

OPPINITION. ^

TTn polygone qui est à la fois équiangle et équilatéral, s’appelle polygone régulier.

Il y a <les polygones réguliers de tout nombre de côtés. Le triangle équilatéral est celui «le trois côtés ; et le quarré, celui de quatre.

PROPOSITION PREMIÈRE

THÉORàlIB. /.

Deux polygones réguliers d’un même nombre de côtés sont deux figures semblables.

Soient , par exemple, les deux hexagones réguliers Bg. i5s. ABCDEF , abcdef j la somme des angles est la même «lans l’une et dans l’autre figure} elle est égale à huit angles droits *. L’angle A est la sixième partie de * aS, i. cette somme aussi bien que l’angle a; donc les deux angles A et a sont égaux; il en est par conséquent de même des angles B et ô, des angles C et c, etc.

De plus , puisque par la nature de ces polygones les côtés AB, BC, CD, etc. , sont égaux, ainsi que ab, bc y cd , etc., il est clair qu’on a les proportions AB: ab :: BC:^c :: CD:cd, etc. ; donc les deux figures dont il s’agit ont les angles égaux et les côtés homologues

•. proportionnels ; donc elles sont .semblables *. •déf. ».

ÜT. ï.

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I08 CBOJIBTRIE.

Corollaire. Les périmètres de deux polygones réguliers d’un même nombre de côtés sont entre eux comme les côtés homologues, et leurs surfaces sont comme les quarrés de ces mêmes côtés*.

Scholie. L’angle d’un polygone régulier se détermine par le nombre de ses côtés comme celui d'un *“» *■ polygone équiangle *.

TRBORâHE.

Tout polygone régulier peut être inscrit flans le cercle, et peut lui être circonscrit.

Soit ABCDE, etc. , le polygone dont il s’agit, imaginez qu’on fasse passer une circonférence par les trois points A, B , G; soit O son centre, et OP la perpendiculaire abaissée sur le milieu du côté BC: joignez AOetOD.

Le quadrilatère OPCD et le quadrilatère OPBA peuvent être superposés : en effet le côté OP est commun , l’angle OPCmOPB, puisqu’ils sont droits; donc le côté PC s’appliquera sur sou égal PB , et le point C tombera en B. De plus, par la nature du polygone, l’angle PCDr=PBA, donc CD prendra la direction BA, et puisque CD= BA, le point D tombera en A, et les deux quadrilatères coïncideront entièrement l'un avec l’autre. La distance OD est donc égale .à AO , et par conséquent la circonférence qui passe par les trois points A, B, C, passera aussi par le point D : mais, par un raisonnement semblable, on prouvera que la circonférence qui passe par les trois sommets B , C, D, passera par le sommet suivant E, et ainsi de suite; donc la même circonférence qui passe par les points A, B, C, passe par tous les sommets des angles du polygone, et le polygone est inscrit dans cette circonférence.