LIVRE IV. la

cnation étaient moins connues, est niaiiilenant »elé> guée parmi les questions oiseuses dont il n'est permis de «'occuper qu’à ceux qui ont à peine les premières notions de géométrie.

Archimède a prouvé qtie le rapport de la circonférence au diamètre est compris entre 3 ^ et ainsi ou Y est une valeur déjà fort approchée du nombre que nous avons représente par et cette première approximation est fort en usage à cause de sa simplicité. Métius a trouvé pour le même nombre U valeur beaucoup plus approchée Enfin la valeur de TT, développée jusqu’.i un certain ordre de décimales, a été trouvée par d’autres calculateurs 3 , 1 4 1592653589793a, etc., et on a eu la patience de prolonger ces décimales jusqu’à la cent vingt>septièmc ou même jusqti'à la cent*quarnntième. Il est évident qu’une telle approximation équivaut à la vérité, et qu’on ne connaît pas mieux les racines des puissances imparfaites. ,

On expliquera, dans les problèmes suivants, deux des méthodes élémentaires les plus simples pour obtenir ces approximations.

PROBLêlIE.

. Étant données les surfaces d’un polygone régulier inscrit et d’un polygone semblable circonscrit^ trouver les surjaces des polygones ré- >-' * • guliers inscrit et circonscrit d’un nombre de côtés double.

Soit AB le côté du polygone donné inscrit, EF *s parallèle à AB, celui du polygone semblable circonscrit, C le centre du cercle; si on tire la corde AM et .

,les tangentes AP, BQ, la corde AM sera le côté du . ;

ia4 CiOM^TBIB.

polygone inscrit d’un nombre de côtés double, et PQ dotd)le de PM sera celui du polygone semblable *. cmîonsrrit *. Cela posé, comme la môme construction aura lieu dans les difTcrcnts angles égaux à ACM, il suffit de considérer l’angle ACM seul, et les triangles qui y sont contenus seront entre eux comme les poly* gones entiers. Soit A la surface du polygone inscrit dont AB est un côté, B la surface du polygone semblable circonscrit. A' la surface du polygone dont AM est un côté. B' la surface du polygone semblable circonscrit; A et B sont connus, il s’agit de trouver A' et B'.

1° Les triangles ACD, ACM , dont le sommet commun est A, sont entre eux comme leurs bases CD, CM; d’ailleurs ces triangles sont comme les polygones A et A' dont ils font partie; donc A: A':: CD:CM. Les triangles CAM, CME, dont le sommet Commun est M, sont entre eux comme leurs bases CA, CE; ces mômes triangles sont comme les poly- • gones A'et B dont ils font partie; donc A' :B::CA;CE. Mais à cause des parallèles AD, ME, bn a CD:CM:: CA: CE; donc A: A':: A': B; donc le polygone A', l’un de ceux que l’on cherche, est moyen proportionnel entre les deux polygones connus A et B, et on

a par conséquent A'= t/A X B.

2° A cause de la hauteur commune CM, le triangle CPM est au triangle CPR comme PM est à PE ; mais la ligne CP divisant en deux parties égales 3 l’angle MCE, on a* PM: PE:: CM: CE:: CD: CA:: A: A'; donc CPM:CPE:: A: A', et par suite, CPM: CPM -P CPE, ou CME::A: A-^A^ Mais CMPA ou aCMP et CME sont entre eux comme les polygones B' et B dont ils font partie ; donc B' : B : : aA:A-J-A‘. On a déjà déterminé A'; cette nouvelle proportion déterminera B', et on aura B’ —