LIVRE IV

donc, au moyen des polygones A et B, il est

facile de trouver les polygones A' et B' qui ont deux fois plus de cAtës. . - /

PXOBLâlfE.

Trouver le rapport approché de la circonférence au diamètre.

Soit le rayon du cercle =i, le côté du quarré inscrit sera V^a*, celui du quarré circonscrit sera j*; égal au diamètre a ; donc la surface du quarré inscrit= a, et celle du quarré circonscrit = 4 - Maintenant, si on fait A — 2 et B= 4 > on trouvera par le problème précédent l’octogone inscrit A'=v^8=

a,8a84a7i , et l’octogone circonscrit

3 , 3 i 3 yo 85 . Connaissant ainsi les octogones inscrit et circonscrit, on trouvera par leur moyen les polygones d’un nombre de côtés double ; il faudra de nouveau supposer A=a,8a84a7t, B= 3 , 3 i 37 o 85 , et

on aura A'=l/ÂxB = 3 , 0614674 , et B' = ^^

,= 3,i8a5p79. Ensuite ces polygones de 16 côtés serviront à connaître ceux de 3 a, et on continuera ainsi jusqu’à ce que le calcul ne donne plus de différence entre les polygones inscrit et circonscrit, au moins dans l'ordre de décimales auquel on s’est arrêté, qui est le septième dans cet exemple. Arrivé à ce point, on conclura que le cercle est égal au dernier résultat , car le cercle doit toujours être compris entre le polygone inscrit et le polygone circonscrit; donc si ceux-ci ne diffèrent point entre eux jusqu’à un certain

tiÔ <iÊU*ÉT&IlI.

ordre de décimales, le' cercle n’en difTérera pas noh plus jusqu’au même ordre.

Voici le calcul de ces polygones prolongé jusqu’à ce qu’ils ne diffèrent plus dans le septième ordre de décimales.

Ifoiubrû drt cdtés.

Polygone inscrit.

Polygone cîrcoosrrits

. 3 ,i 4 o 33 ii .

.... 3 ,i 4 i 63 ai

; . . . 3 ,i 4 i 6 oa 5

De là je conclus que la surface du cercle = 3 , 1415926. On pourrait avoir du doute sur la dernière décimale à cause des erreurs qui viennent des' parties négligées; mais le calcul a été fait avec une décimale de plus, pour être sûr du résultat que nous venons de trouver jusque dans la dernière décimale.

Puisque la surface du cercle est égale à la demicirooniéreiicc multipliée par le rayon, le layon étant 1, la demi-circonférence est 3 , 1415926; ou bien le diamètre étant 1 , la circonférence est 3 , 1415926; donc le rapport de la circonférence au diamètre dé> ' signé. ci-dess us par w=3,i4i5926. ,

Ltvkk IV, nj

PROPOSITIOJN XV.

LBHMB.

Le triangle CAB est équivalent au triangle isoscèle UCEi qui a le même angle C , et dont le côté CE égal à CI) est moyen proportionnel entre CA et CB. De plus , si C angle CAB est droit, la perpendiculaire CF abaissée su’ a base du triangle isoscèle , sera moyenne proportionnelle entre le c6té CA et la demi-somme des côtés CA , CB.

Car, 1 ° a cause de l'angle commun C, le triangle ABC est au triangle isoscèle DCE comme AC X CB est à I)C X CE , ou

DC*^ donc ces 'triangles seront équivalents, siDC = AC XCB, ou si DC est moyenne proportionnelle entre AC et CB. ' >

2 " La perpendiculaire CGF coupant en deux parties égales l'angle ACB, on a* AGiGB:: AC : CB, d'où rfisulte, componendo , AG:AG-f-CB ou AB::AC: AC-J-CB^ mais AG est à AB comme le triangle ACG est au triangle ACB ou aCDF ; d'ailleurs, si l'angle A est droit, les triangles rectan* gles ACG, CDF, seront semblaBles, et donneront ACG;

CDF AC: CF, donc

Âc’: a CF:: AC: AC 4- CB.

Multipliant le second rapport par AC, les antécédents deviendront égaux, et on aura par conséquent aCF=ACX (AC 4- CB) , ou CF = AC X ( J» donc a" si , l’angle

A est droit , la perpendiculaire CF sera moyenne proportionnelle entre le cAté AC et la di'mi-somme des côtés AC, CB.

• PROPOSITION'XVi; ’

. X rnoBtâME.

Trouver un cercle qui diffère aussi peu qu'on tsoudra tTun polygone régulier donné.

Soit proposé , par exemple, le quairé B.MNP ; abaisses du

fig- »;«■

128 ' geohétbie.

centre C la perpendiculaire CA sur le côte MB, et joigne* CB.

Le cercle décrit du rayon CA est inscrit dans le quarré, et le cercle décrit dn rayon CB est circonscrit à ce même quarré; le premier sera pins petit que le quarré, le second sera plus grand ; mais il s’agit de resserrer ces limites.

Prene* CD et CE égales chacune i la moyenne proportionnelle entre CA et CB , et joignez ED ; le triangle isoscèle Si. CDE sera équivalent an triangle CAB* ; faites de même poür chacun des huit triangles qui composent le quarré , vons formerez ainsi on octogone régulier équivalent an quarré BMNP. Le cercle décrit dn rayon (;F , moyen propor-