GI GH

Cela posé , on aura par le lemmc précédent ^ ^ • [Jô CG ’

mais DE est au périmètre du premier polygone comme l’angle O est à quatre angle» droit» , et AB est an périmètre du second comme l’angle C est à quatre angle» droits ; donc, puisque le» périmètre» de» polygone» sont égaux, DE . AB

•0:C, ouDE;AB::^;^. MultiplUnt le» an técédents

. OG tiG

par OG et le» conséquent» par CG, on aura DE X OG. AB X CG : : GI : GH. Mai» le» triangle» semblable» ODE, OFG, donnent OE : OG : : DE : FG , d’où résulte DE X OG = OE . , : X FG ; on aura de même AB X CG CB X FG ; onc FG : CB X FG :: GI : GH , ou OE : CB GI : GH. Si donc .

on fait voir que l’arc GI est plus grand que l’arc GH, il s’en suivra que l’apothème OF. est plus grand qne CB-

>36 oioMiTmii^ I

De l’autre cAlé de CF toit faite la ügure CK-* entièremen |

égale à ja figure CG*, de aorte qu’on ait CK. = CG, l’angle HCK^HCG, et l’arc Kx~*G ; la courbe K*G enveloppera l'arc KHG , et sera ]>lus grande que cet arc *. Donc G*, moitié de la courbe, est plus grande que GH moitié de l'arc; donc, à plus forte raison , G1 est plus grand que GH. ^

Il résulte de là que rapotliéme OE est plus grand que CB: mais les deux polygones ayant même pcrimèire sont entre eux comme leurs apotbèmes*; donc le polygone qui a pour demi-c6té DE est j)lus grand que celui qui a pour demi-edté AB : le premier a le plus de côtés , jiuisque son angle au centre est le plus petit; doue de deux polygones réguliers Uopérimètres , celui qui a le plus de côtés est le plus grand.

TRBOaéstK.

Le cercle est plus grand que tout polygone isopénmètre. I

II est déjà prouvé que de tons lés polygones isopériroètres et d'un même nombre de côtés le polygone régulier est le '

plus grand ; ainsi il ne s’agit plus que de comparer le cercle I

à un polygone régulier quelconque isopérimètre. Soit AI le demi-côté de ce polygone, C son centre. Soit dans le cercle '

isopérimètre l'angle DOErrACI, et conséquemment l’arc DE égal au demi -côté AI. Le polygone P est au cercle C comme le triangle ACI est au secteur ODE ; ainsi on aura P; C: : tAI X CI: i DExOE;:CI:OE. Soit menée an point E la tangente EC qui rencontre DD prolongé en G ; les triangles semblables ACI, GOE, donneront la proportion CI:

OE:: AI ou DE:GE ; donc P:C :: DE:OE, OH comme DEx

J OE qui est la mesure du secteur DOE est à GEx^OE qui

est la mesure du triangle GOE : or le secteur est plus petit

que le triangle; donc P est plus petit que C , donc le cercle |

est plus grand que tout polygone isopérimètre.