LES PLANS ET LES ANGLES SOLIDES

DBVlNITIOirS. .

L XJwE ligne droite est perpendiculaire h un plan, lorsqu’elle est perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son pied dans le plan *. Réciproquement * pr 4. le plan est perpendiculaire à la ligne.

Le pied de la perpendiculaire est le point où cette ligne rencontre le plan. '

II. Une ligne est parallèU à un plan, lorsqu’elle ne peut le rencontrer à quelque distance qu’on les prolonge l’un et l’autre.’ Réciproquement le plan est parallèle à la ligne.

III. Deux plans sont parallèles entre eux, lorsqu’ils lie peuvent se rencontrer à quelque distance qu’on les prolonge l’un et l’autre.

IV. Il sera démontré * que l’intersection commune * pr. î. de deux plans qui se rencontrent est une ligne droite :

cela posé , l'angle ou l'inclinaison mutuelle de deux ■ plans est la quantité plus ou moins grande dont ils sont écartés l’un de l’autre ; cette quantité se me- . sure * par l’angle que font entre elles les deux per- «pr.7. pendiculaires menées dans chacun de ces plans au même point de l’intcrsectioii'’commune. '

Cet angle peut être aigu , droit , ou obtus.

' V. S’il est droit, les deux plans sont perpendicur lai res entre eux.

VI. Angle solide est l’espace angulaire compris ' entre plusieurs plans qui se réunissent en un même ‘

Kg. iSii

• 38 * GBOMÉTmiS. ' '

Ainsi l'angle sofitle S est formé par la réunion Aes pUns ASB, BSC, CSB, DS A.

Il faut au moins trois plans pour former un angle solide,

PBOPOSITION PREMIÈRE.

THZOaÂMB.

Une ligne droite ne peut être en partie dans un plan , en partie au dehors.

Car, suivant la définition du plan,, dès qu'une ligne droite a deux points communs avec un plan, elle est tout entière dans ce plan.

Scholie. Pour reconnaître si une surface est plane , il faut appliquer une ligne droite en différents sens sur cette surface , et voir si elle touche la surface dans toute son étendue.

, THBOaBMB.

, Deux lignes droites qui se coupent sont dans un même plan, et en déterminent la position.

Soient AB, AC, deux lignes droites qui se coupent en A : on peut concevoir un plan où se trouve la ligne droite AB ; si ensuite on fait tourner ce plan autour de AB , jusqu’à ce qu'il passe par le point C , alors la ligne AC, qui a deux de ses points A et C dans cc plan , y sera tout entière, donc la position de ce plan est déterminée par la seule condition de renfermer les deux droites AB, ,AC.

Corollaire I. Un triangle ABC, ou* trois points A, B, C, non en ligne droite, déterminent la position d’un plan.

Corollaire II. Donc aussi deux parallèles AB, CD, . déterminent la position d'un plan; car si on mène la

f, tVRB I V. t3()

sécante EF,' le plan des deux droites AF., FF, sera celui des parallèles AB, CD.

THÉORÈME

.,SY deux plans se coupent , leur intersection commune sera une ligne droite. . '

Car, si dans les points communs aux deux plans .. on en trouvait trois qui ne fussent pas en ligne droite , les deux plans dont il s'agit , passant chacun par ces , trois ■ points , ne feiaient qu’un seul et même plan*, * *• ce -qui est contre la supposition.

THÉORÈME

Si une ligne droite AP est perpendiculaire à deux autres VB., PC, qui se croisent à son pied dans le plan MN , elle sera perpendiculaire à .une droite quelconque PQ menée par son pied ■ dans te meme plan , et ainsi elle sera perpendiculaire au plan ■

Par un point Q, pris à volonté sur PQ , tirez la droite BC dans l'angle BPC, de manière que BQ = QC*, joignez AB, AQ, AC;

La base BC étant divisée en deux parties égales au point Q, le triangle BPC donnera*,

Pc4-^=2PQ+aQC!

Le triangle BAC donnera pareillement ,

ÂC + ÂB = aÂQ aQC.’

Retranchant la première égalité de la seconde, et

observant que les triangles APC , APB , tons deux.

rectangles en P, donnent AC — PC=rAP, et AB —

. PB = AP; on aura,

ÂP + ÂP L: a ÂQ — 2 .’

Kt. ?•-

|4o CKOMBTMIB. '

Donc, en prenant les moitiës de part et d’autre,

on a AP=AQ — PQ, ou AQ=AP-f-PQ, donc le •i3,S. {Hangle APQ est rectangle en P”; donc AP est per- * pendiculaire à PQ.

SchoUe. On voit par là , non-seulement qu'il est possible qu’une ligne droite soit perpendiculaire à toutes celles qui passent par son pied dans un plan , mais . que cela arrive toutes les fois que cette ligne est perpendiculaire à deux droites menées dans le plan ; c’est ce qui démontre la légitimité de la définition I. -

Corollaire I. La perpendiculaire AP est plus courte qu’une oblique quelconque AQ ; donc elle mesure la vraie distance du point A au plan PQ.

Corollaire II. Par un point P donné sur un plan , on ne peut élever qu’une seule perpendiculaire à ce plan ; car si on pouvait élever deux perpendiculaires par le même point P, conduisez, suivant ces deux perpendiculaires, un plan dont l’intersection avec le plan MN soit PQ; alors les deux perpendiculaires dont il s'agit seraient perpendiculaires à la ligne PQ , au même point et dans le même plan , ce qui est im- ' possible.

11 est pareillement impossible d’abaisser d’un point donné hors d’un pian deux perpendiculaires à ce plan ; car soient AP , AQ , ces deux perpendiculaires , alors le triangle APQ aurait deux angles droits APQ , AQP , ce qui est impossible.

THBOKÊHE.

Les obliques également éloignées de la perpendiculaire sont égales; et, de deux obliques inégalement éloignées de la perpendiculaire, celle qui s'en éloigne le plus est la plus longue.

LITHK V.

Car les angles APB, APC, APO étant droits, si on % i>4suppose les distances PB, PC, PD, égales entre elles, les triangles APB, APC, APD, auront un angle égal compris entre côtés égaux; donc iis seront égaux; donc les hypoténuses ou les obliques AB , AC , AD > seront égaies entre elles. Pareillement , si la distance PE est plus grande'que PD ou son égale PB, il est clair que l'oblique AE sera plus grande que AB , ou son égalé AD. ,

Corollaire. Toutes les obliques égales AB , AC ,

AD, etc.., aboutissent à la circonférence BCD, dér crite du pied de la perpendiculaire P comme centre ; donc étant donné un point A hors d'un plan , si on veut trouver sur ce plan le point P où tomherait la perpendiculaire abaissée de A, il faut marquer sur ce plan trois points B , C , D , également éloignés du point A, et chercher ensuite le centre du cercle qui passe . par ces points ; ce centre sera le point cherché P.

- Scholie. L’angle ABP est ce qu'on appelle XinclU naison de V oblique AB sur le plan MN ; on voit que ‘ . cette inclinaison est égale pour toutes les obliques AB, .

AC, AD, etc. , qui s'écartent également de la perpen> diculaire; car tous les triangles ABP, ACP, ADP, etc.', sont égaux entre eux. ' ~ .

THBORBlfB.

Soit AP une perpendiculaire au plan MN et ag. xM, BC une ligne située dans ce plan ; si du pied P de la perpendiculaire on abaisse PD perpendi~ culaire sur BC , et quon joigne AD,ye dis que > sera perpendiculaire à '

Prenez DB=DCj et joignez PB, PC, AB, 'AC:

puisque DB=DC, l’oblique PB = PC; et par rapport à la perpendiculaire AP , puisque PB == PC ,

■ u&okBtmâs.

l'oblique AB= AC*; donc la ligne AD a deux de Mi points A et D également distants des extrémités B et ,

C ; donc AD est perpendiculaire sur le ipilieu de BC. .

Corollaire. On voit en même temps que BC est perpendiculaire au plan APD, puisque BC est perpendiculaire à-la-fois aux deux droites AD , PD. 4â- ,

Scholie. Les deux lignes AE , BC ; offrant l'exemple < de deux lignes qui ne se rencontrent point, parce que 'elles ne sont pas situées dans un même plan. La plus ' courte distance de ces lignes est la droite PD , qui est à.!la-fois perpendiculaire à la ligne AP et à la ligne BC. La distance PD est la plus courte entre ces deux lignes; car si on joint deux autres points, comme .A ' ' et B , on aura AB > AD , AD > PD; donc , à plus forte raison , AB > PD. -

I Les deux lignes AE, CB, quoique non situées dans un même plan , sont censées faire entre elles un angle droit, parce que AD et la parallèle menée par un de ses points à la ligne. BC feraient entre elles un angle ’ droit. De même la ligne AB et la ligue PD , qui représentent deux droites quelconques non situées dans le ■ même plan\ sont censées faire entre elles le même angle que ferait avec AB la parallèle à PD menée par un des points de AB. •

> THXOXBMB.

Sr. ifli. Si la ligne AP est perpendiculaire au plan ' MN , toute ligne UK parallèle à sera perpen- ' diculaire au même plan.

Suivant les parallèles AP, DE, conduise* un plan dont l'intersection avec le plan MN sera PD; dans le plan MN menea BC perpendiculaire à PD, et joi- • gne» AD. , ,

Li > an ♦. ' t4à '

SuiTant.le corollaire du théorème piécédeut, fiC * est perpendiculaire au plan APDE; donc l’angle BDE est droit : mais l’angle EDP est droit aussi, puisque AP est perpendiculaire à PD, et que DE est parallèle à AP; donc la ligne DE est perpendiculaire aux deux ** droites DP, DBj donc elle est perpendiculaire à leur planMN. ^

Corollaire 1. Réciproquement si les droites AP,

DE sont perpendiculaires au même plan MN , elles seront parallèles; car si elles ne 1 ’éuient pas, condalsez par le 'point D une parallèle à AP, cette parallèle sera perpendiculaire au plan MN ; donc on pourrait, " par un même point D, élerer deux perpendiculaires ^ à un même plan, ce qui est impossible*. ^ ' * s-

Corôllaire II. Deux lignes A et B, parallèles à une troisième C, sont parallèles entre elles; car imaginex un plan perpendiculaire à la ligne C, les lignes A et B, . parallèles à cette perpendiculaire, seront perpendiculaires au même plan ; donc , par le corollaire précédent, elles seront parallèles entre elles. .

11 est entendu que les trois lignes ne sont pas dans le même plan , sans quoi la proposition serait déjà connue *. ' * *5, i,

THBOKBIIB.

Si la ligne hü est parallèle à une droite Cl> fig- 1»?. menée dans le plan MN , elle sera parallèle à ce plan.

Car si la ligne AB , qui est dans le plan ABCD , rencontrait le plan MN, ce ne pourrait être qu'en quelque ' . '

-point de la ligne CD, intersection commune îles deux plans :or, AB ne peut rencontrer CD, puisqu'elle lui est parallèle ; donc elle ne rencontrera pas non pins le plan MN ; donc elle est paiallèie à ce plan*. *<Mf. a.

Cg.iS8.

l44 GIOKBTatB.

théobIms. '

Deux plans MN , PQ , perpendiculaires à une même droite AB , sont parallèles entre eux.

Car s’ils se rencontraient quelque part, soit O un de leurs points communs, et joignez OA, OB ; la ligne AB, perpendiculaire au plan MN, est perpendiculaire à la droite OA menée par, son pied dans ce plan; par la même raison AB est perpendiculaire à BO ; donc OA et OB seraient deux perpendiculaires abaissées du •même point O sur la même ligne droite , ce qui ^t impossible ; donc les plans MN , PQ , ne peuvent se . rencontrer ; donc ils sont parallèles.

TRBOH BH B.

^ Les intersections EF, GH, de deux plans parallèles MN, PQ, par un troisième plan FG, sont parallèles.

Car si les lignes EF, GH, situées dans un même plan , ne sont pas parallèles , prolongées elles se rencontreront ; donc les plans MN , PQ , dans lesquels elles sont, se rencontreraient aussi; donc ils ne se- ''aient pas parallèles. , , '

TBÉOBÊMB.

La ligne AB, perpendiculaire au plan MN , est perpendiculaire au plan PQ parallèle à MN.

Ayant tiré à volonté la ligne BC dans le plan PQ, suivant AB et BG , conduisez un plan AJ3G dont

i intersection avec le plan MN soit AD , rintersection AD rera parallèle à BC*j mais la ligne AB perpendi- * «o. culaire au plan MN est perpendiculaire à la droite ^ , donc elle sera aussi perpendiculaire à sa parallèle BC ; et puisque la ligne AB est perpendiculaire à toute ligne BC menée par son pied dans le plan PQ il s ensuit qu’elle est perpendiculaire au plan PQ. ’ ;

THBORBMS.

Les' parallèles EG , FH , comprises entre deux «89. plans parallèles MN , PQ , sont égales. '

Par les parallèles EG, FH, faites passer le plan EGHF, qui rencontrera les plans parallèles suivant EF et GH. Les intersections EF, GH, sont parallèles entre elles *, ainsi que EG, FH ; donc la figure EGHF * 10. est un parallélogramme J donc EG = FH.

Corollaire. Il suit de là que deux plans parallètes sont partout a égale distance; car si EG et FH sont perpendiculaires aux deux plans MN, PQ, elles serons parallèles entre elles*; donc elles sont égales. •

THÉORBME.

Si deux angles CAE, DBF, non situés dans le fig. même plan , ont leurs côtés parallèles et dirigés * dans le même sens, ces angles seront égaux et leurs plans seront parallèles.

Prenez AC = BD, AEicBF, et joignez CE, DF AB , CD, EF. Puisque AC est égale et parallèle à BD la figure ABDC est un parallélogramme*; donc CD '• est égale et parallèle à AB. Par une raison semblable

6g. ïg*'

146 CÉOMSTRIH.

DEF est égale'et parallèle à AB J donc r|usî Cesl. égale et parallèle à £F , la figure GEFD est donc un parallélogramme , et ainsi le côté CE est égal et parallèle à DF ; donc les triangles CA£, DBF, ont équilatéraux entre eux; donc d’angle GAE=r DBF.

En second lieu je dis que le plan AGE est parallèle au plan BDF ; car, supposons que le pian parallèle à BDF, mené par le point A, rencontre les lignes GD, EF, en d'autres {Ktints que G et E, par exemple en G et H ; alors , suivant la proposition xii , les trois lignes AB, GD , FH , seront égales : mais les trois AB, GD , EF, le sont déjà; donc on aurait GD = GD, et FH = EF, ce qui est absurde ; donc le plan AGE est parallèle à BDF.

Corollaire. Si deux plans parallèles MN , PQ, sont rencontrés par deux autres plans GABD , EABF , les angles GAE,DBF, formés par les intersections des plans parallèles, seront égaux; car l'intersection AG est parallèle à BD * , A£ l’est à BF , donc l'ant'le GAE = DBF.

THBOHâxB.

Si trois droites A B , CD , EF , non situées dans ie même plan , sont égales et parallèles , les triangles ACE, BDF , foimés de part et d’autre en joignant les extrémités de ces droites, seront égaux , et leurs plans seront parallèles.

Car, puisque AB est égale et parallèle à GD, la figure ABDG est un parai lélogramoie ; donc le côté AG est égal et parallèle à BD. Par une raison semblable les côtés AE , BF, sont égaux et parallèles ainsi que GE , DF ; donc les deux triangles AGË>

LiVRI V. l4ÿ

BDF , sont égaiis : on prouvera d’ailleurs , comme dans la {Iroposition précédente , que leurs plans sont parallèles.

PROPOSITION XV. .y.

THBOaÈMB.

Deux droites comprises entre trois plans pa- . rallèleSf sont coupées en parties proportionnelles-

Supposons que la ligne AB rencontre les plans pa* 6 k- i<u. rallèles MN , PQ , US , eu A , £ ^ B , et que la ligne CD rencontre les mêmes plans en C, F, D; je dis qu’on aura AE : EB . : CF : FD.

Tirez AD qui rencontre le plan PQ en C, et joignez AC, EG , GF, BD; les intersections EG , BD, des plans parallèles PQ , RS, par le plan ABD, sont parallèles donc AE:£B: :AG:GD ; pareillement loa ' >u. intersections AC, GF, étant parallèles, on a AG :GD: :

CF:FD ; donc, à cause du rapport coniniiin, AG:

GD , on aura AE : EB : ; CF . FD.

TBBOHâMB. ■ ^

Soa ABCÜ un quadrilatère quelconque situé ou non situé lig. lyi dans un même plan; si on coupe les côtés opposés proportionnellement par tleux droites ËF, GH, de sorte qu'on ait A£:£B DF: FC, et BG:GC :^ AU: UD dis que les droites

EF., GH, je couperont en un point M, de manière qu'on aura UM:MG :: AË:£B , et EM:MI :: AH:1IÜ.

Conduisez snivant AD un plan quelconque AAHcI) qui ne passe pas suivant GH; par les points E, B, C, F, menez à GH les parallèles Ee , B/> , Ce , V/^ qui rencontrent ce plan en e, è, c, /. A cause des parallèles BA, GH, Ce*, un aura «,j t, èH:Het: BG;GC >: AH: HD; donc* les triangles AHA, UHe, ^ sont semblables. On aura ensuite Ae:eA:: AE:EB , et D/;

ro-

24^ GBOMBTKIB.

c:; DF: FC ; donc Ae:eA:: ry:/c , ou , componendo , Ke‘. D/:: A^.'Dc,' mais, à cause des triangles semblables AU/>, DHc, on a Aé:Dc:: AH:HD; doue Ae:D/’::AH:HD ; d’ailleurs les triangles AH6, cHü, <itant semblables, l'angle HAe *so,3. =HD/;donc les triangles AHe, Dll/', sont semblables * , donc l’angle AHe = DH/'. Il s'ensuit d’abord que eHyest une ligne droite, et qu’ainsi les. trois parallèles £e, GH, ¥f, sont situées dans un même plan , lequel contiendra les deux ' droites EF, GH; donc ceUet-ci doivent se couper en un point M. Ensuite, à cause des parallèles Ee, MH, T/, on aura EM:MF:: eU:H/:: AH:HD. • *

Par une construction semblable, rapportée au côté AB, on démontrerait que HM:MG:: AE:EB. ’ .

TH^ORÊIIB.

» ^ * fij,'. iy3. L’angle compris entre les deux plans MAN , MAP, peut être mesuré, conformément à la définition, par l'angle N AP que font entre elles les deux perpendiculaires AN, AP, menées dans chacun de ces plans à l'intersection commune ' AM.

Pour démontrer la légitimité de cette mesure, il faut prouver, i" quelle est constante, ou qu'elle serait la même en quelque point de l'intersection commune qu’on menât les deux perpendiculaires.

En effet, si on prend un autre point M, et qu’on mene MC dans le plan MN, et MB dans le pian MP,

■ perpendiculaires à l’intersection commune AM ; puisque MB et AP sont perpendiculaires à une même ligne AAI, elles sont parallèles entre elles. Par la même raison MC est parallèle à AN : donc l’angle BMC = *,j PAN * ; donc il est indifférent de mener les perpendiculaires au point M ou au point A; l'angle compris sera toujours le même.

LIVEB V. 149

a" Il faut prouver que si l’angle des deux plang augmente ou diminue dans un certain rapport , l’angle PAN augmentera ou diminuera dans le même rapport.

Dans le plan PAN décrivez du centre A et d’un rayon h volonté l’arc NDP, du centre M et d’un rayon égal décrivez l’arc CEB , tirez AD à volonté ; les deux plans PAN, BMC, étant perpendiculaires à une même droite MA, seront parallèles”; donc les intersections *9. AD, ME, de ces deux plans par un troisième AMD, seront parallèles ; donc l’angle BME sera égal à PAD* * **• Appelons pour un moment coi/i l’angle formé par deux plans MP , MN ; cela posé , si l’angle DAP était égal à DAN, il est clair que le coin DAMP serait égal au coin DAMN ; car la base PAD se placerait exactement sur son égale DAN, la hauteur AM serait toujours la même ; donc les deux coins coïncideraient l’un avec l’autre. On voit de même que si l’angle DAP était contenu un certain nombre de fois juste dans l'angle P.AN, le coin DAMP serait contenu autant de fois dans le coin PAMN. D’ailleurs, du rapport en nombre entier à un rapport quelconque la conclusion est légitime, et a été démontrée dans une circonstance tout-à-fait semblable * ; donc quel que * 'Isoit le rapport de l’angle DAP à l’angle PAN, le coin DAMP sera dans ce même rapport avec le coin PAMN; donc l’angle NAP peut être pris pour la mesure du coin PAMN, ou de l'angle que font entre eux les deux plans MAP, MAN.

Scho/ie. Il en est des angles foi niés par deux plans comme des angles formés par deux droites. Ainsi, lorsque deux plans se traversent inutuellement , les angles opposés au sommet sont égaux, et les angles adjacents ' valent ensemble deux angles droits ; donc si un plan est perpendiculaire à un autre , celui-ci est perpendiculaire au premier. Pareillement dans la rencontre des

Di by Gi-”jgle

fig. 1^.

• ‘déf-S.

lf!0 GBOMÉtfllB.

plans parallèles par un troisième plan , il existe les mêmes égalités et les mêmes propriétés que dans la renconire de deux lignes parallèles par une troisième ligne.

THÉORéHB.

La ligne AP étant perpendiculaire au plan MN , tout plan A PB, conduit suivant AP, sera peipendiculaite au plan MN.

Soit BC l'intersection des . plans AB, MN; si dans |e plan MN on mène DE perpendiculaire à BP, la ligne AP, étant perpendiculaire au plau MN , sera perpendiculaire à chacune des deux droites BC , DE : mais l’angle APD, formé par les deux perpendiculaires PA, PD, à l’intersection commune BP, mesure l’angle des deux plans AB, MN ; donc, puisque cet angle est droit, les deux plans sont perjiendiculaires entre eux *.

Scholie. Lorsque trois droites, telles que AP, BP , DP , sont perpendiculaires entre elles, chacune de ces droites est perpendiculaire au plan des deux autres et les trois plans sont perpendiculaires entre eux.

THKORBMB.

• Si le plan A H est perpendiculaire au plan MN , et que dans le plan AB on mène la ligne PA perpendiculaire à l’intersection commune PB, /c dis que PA sera perpendiculaire au plan MN.

Car si dans le plan MN ou mène PD perpendiculaire à PB, l’angle APD sera droit, puisque les plans sont perpendiculaires entre eux ; donc la ligne AP est perpemliculaire aux deux droites PB, PD; donc elle est perjiendiculaire à leur plan MN.

Corollaire. Si ie plan AB est perpendiculaire au plan MN. et que par un point P de l’intersection commune on élève une perpendiculaire au plan MN je dis que cette perpendiculaire sera dans le plan AB, car, si elle n’y était pas, on pourrait mener dans le plan AB une perpendiculaire AP à l’intersection contimune BP, laquelle serait en même temps perpendiculaire au plan MN ; donc au même point P il y aurait deux pierpendiculaires au plan MN ; ce qui est impossible*.

THBOBBIIB.

SideiLt plans AB, kX) , sont perpendiculaires H- «» 4 . à un troisième MN, leur intersection commune AP sera perpendiculaire à ce troisième plan.

Car si par le point P on élève une perpendiculaire au plan MN, cette perpendiculaire doit se trouver àla-fois dans le plan AB et dans le plan AD*; donc elle ’^r 16. est leur intersection commune AP.

THBOmâlfB.

Si un angle solide est formé par trois angles plans, la somme de deux quelconques de ces angles sera plus grande que le troisième.

Il n’y a lieu à démontrer la proposition que lorsque l’angle plan qu’on compare à la somme des deux au- . très est plus grand que chacun de ceux-ci. Soit donc l’angle solide S formé par trois angles plans ASB,

ASC , BSC, et supposons que l’angle ASB soit le plus grand des trois ; je dis qu'on aura ASB < ASC + BSC.

Dans le plan ASB faites l’angle BSD=BSC,ürex

l5a GBOMBTHIB. '

à volonté la tlroite ADB ; et, ayant pris SC=^SD, joignez AC, BC.

Les Jeux côtés BS, SD, sont égaux aux Jeux BS,

SC, l’angle BSD=BSC; donc les deux triangles BSD, RSC sont égaux; donc BD = BC. Mais on a AB< AC-t-BC; retianchant d’un côté BD, et de l’autre

• son égale BC , il restera AD < AÇ. Les deux côtés AS ,

SD, sont égaux aux deux AS, SC, le troisième AD lo, I. est plus petit que le trobièrae AC; donc* l’angle ASD

<ASC. Ajoutant BSD=BSC, on aura ASD + BSD ou ASB<ASC + BSC.

THBOHÊIIB.

La somme des angles plans qui forment un • angle solide, est toujours moindre que quatre angles droits.

K.196. Coupez l'angle solide S par un plan quelconque ABCDE ; d'un point O pris dans ce pian menez à tous les angles les lignes OA , OB, OO, OD, OE.

La somme des angles des triangles ASB, BSC, etc., formés autour du sommet S, équivaut à la somme des angles d’un pareil nombre de triangles AOB , BOC , etc. , formés autour du sommet O. Mais au point B les angles ABO , OBC, pris ensemble, font l'angle ABC plus petit que la somme des angles ABS,

* »«• SBC*; de même au point C on a BCO-+-OCD<

BCS -H SCD ; et ainsi à tous les angles du polygone ABCDE. 11 suit de là que dans les triangles dont le sommet est en O , la somme des angles à la base est plus petite que la somme des angles à la base dans les triangles dont le sommet est en S; donc, par compensation , la somme des angles formés autour du point O est plus grande que la somme des angles autour du point S. Mais la somme des angles autour