LIVRE T. ï

«lu point O est égale à quatre angles droits* j donc la somme des angles plans qui forment l’angle solide S est moindre que quatre angles droits.

Scholie. Cette démonstration suppose que l’angle solide est convexe , ou que le plan d’une face prolongée ne peut jamais couper l’angle solide; s’il en étiit autrement, la somme des angles plans n’aurait plus de bornes et pourrait être d’une grandeur quelconque.

THÉORKllE.

Si deux angles solides sont composés de trois angles plans égaux chacun à chacun , les plans dans lesquels sont les angles égaux seront également inclinés entre eux.

Soit l’angle ASC=D'rF, l’angle ASB=DTE, et «g. 197, l’angle BSC = ETF; je dis que les deux plans ASC, '

ASB, auront entre eux une inclinaison égale à celle des plans DTE , DTE.

Ayant pris SB à volonté , menez BO, perpendiculaire au plan ASC; du point O, où cette perpendiculaire rencontre le plan, menez OA, OC, perpendiculaires sur SA ,• SC ; joignez AB , BC; prenez ensuite TE = SB ; menez EP perpendiculaire sur le plan DTE; du point P menez PD, PF, perpendiculaires sur Tü, TF ; enfin joignez DE , EF.

Le triangle SAB est rectangle en A, et le triangle TDE en D*, et puisque l’angle ASB == DTE, on a *6. aussi SBA=:TED. D'ailleurs Sn = TE; donc le triangle SAB est ég.il ati triangle TDE*; donc SA= * 5 , 1. /

Tü, et AB = DE. On démon tiera semblablement que SC=TF, et BC = KI^ Cela posé, le quadrilatère SAOC est égal' au quadrilatère TDPF ; car posant l’angle ASC sur son égal DTF , à cause d«

I 54 G É O M ri T a I I.

SA =1*1) et SC=TF y le point A tombera en f) rit le point C en F. En même temps AO, perpendiculaire à SA, tombera sur DP perpendiculaire à TD, et pareillement OC sur PF ; donc le point O tombera sur le point P, et on aura AO =:DP. Mais les triangles AOB , DPE, sont rectangles en O et P, l’iiypoténuse AB=DE, et le côté AO=DP; donc ces triangres sont égaux *; donc l’angle OAB=PDE. L’angle OAB est l’inclinaison des deux plans ASB , ASC ; l’angle PDE est celle des deux plans DTE, DTF ; donc ces deux inclinaisons sont égales entre elles.

Il faut observer cependant que l’angle A du triangle rectangle OAB n’est proprement l’inclinaison des deux |>ians ASB , ASC , que lorsque la perpendiculaire BO tombe , par rapport à SA , du même côté que SC; si elle tombait de l’autre côté, alors . l’angle des deux plans serak obtus , et , joint à l'an- , gle A du triangle OAB, il ferait deux angles droits. KLfis dans le même cas l’angle des deux plans TDE , TDF, serait pareillement obtus, et, jointe à l’angle J) du triangle DPE, il ferait deux angles droits; donc, comme l’angle A .serait toujours égal à D, on conclurait de même que l’inclinaison des deux plans ASB, ASC, est égale à celle des deux plans TDE,

- SchoUe. Si deux angles solides sont composés dé trois angles plans égaux chacun à chacun , et qu’en même temps les angles égaux ou homologues soient disvnsés de l-a même maniéré dans les deux angles .solides, alors ces angles seront égaux , et posés l’un sur l'autre ils coïncideront. En effet on a déjà vu que le quadrilatère SAOC peut être placé sur son égal TDPF; ainsi en plaçant SA sur TD, SC tombe sur TF, et le point O sur le point P. Mab, à cause de l’égalité des triangles AOB, DPE, la perpendiculaire ÜB au plan ASC est égale à la perpendiculaire

PR ail plan TDF'; <!e pins ces perpcndionlaires sont dirigées dans le ménu* sens; donc le point B toniliera sur le point E, la ligne SB sur TE, et les deux angles solides coïncideront entièrement l’un avec l’autre.

Cette coïncidence cependant n’a lieu fju’en supposant que les angles plans égaux sont disposés de la même manière dans les deux angles solides ; car si les angles plans égaux étaient disposés dans un ordre inverse, ou, ce qui revient au même, ai les perpendiculaires OB, PE, au iieu d’être dirigées dans le même sens par rapport aux plans ASC, DTF, étaient dirigées en sens contraires , alors il serait impossible de faire coïncider les deux angles .solides l’un aveu l'autre. Il n’en serait cependant pas moins vrai , conformément au théorème, que les plans dans lesquels sont les angles égaux seraient également inclinés enti-e eux ; de sorte que les deux angles solides seraient égaux dans toutes leurs parties constituantes , Sans néanmoins pouvoir être superposés. Cette sorte d'égalité, qui n’est pas absolue ou de superposition, mérite d’être distinguée par une dénomination particulière : nous l’appellerons égalité par symétrie.

Ainsi les deux angles solides dont il s’agit , qui sont formés par trois angles plans égaux chacun à chacun^ mais disposés dans un ordre invérse , s’appelleront angles égaux par symétrie, ou simplement angles symétriques. __

-La même remarque s’applique aux angles solides formés de plus de trois angles plans : ainsi un angle solide formé par les angles plans A, 0, C, D, E, et un autre angle solide formé par les mêmes angles dans un onire inverse A, E, D, C, B, peuvent être tels que les plans dans lesquels sont les angles égaux soient également inclinés entre eux. Ces deux angles solides, qui seraient égaux sans que la superposition

rS6 CÉOMBtBIB.

lût poa^ble, 's'appelleront angles solides égasùc par ^

^finètrie, ou angles solides symétriques. 1 . .. .é<n^>.'x.

Dans les figures planes il n’y a point proprement tl*égalitë par symétrie, et toutes celles qu’on vou- ^ (Irait appeler ainsi seraient des égalités absolues ou de superposition : la raison en est qu'on peut renverser une figure plane, et prendre indifféremment le dessus pour le dessous. 11 en est autrement dans les solides, où la troisième dimension peut être prise dans deux sens différents. v

t PROBI.BKB.

Etant donnés lès trois angles plans qui forment un angle solide y trouver par une construction plane V angle que deux de ces plans font entré eux.

19S. .. Soit S l’angle solide proposé , dans lequel on connaît les trois angles plans ASD, ASC, ESC; on de- ' mande l’angle que font entre eux deux de ces plans, par exemple les plans ASB , ASC.

Imaginons qu’on ait fait la même construction que dans le théorème précédent, l’angle OAB serait l’angle requis. Il s’agit donc de trouver le même angle par une construction plane ou tracée sur un plan.

Pour cela faites sur un plan les angles E'SA, ASC, B"SC, égaux aux angles BSA, ASC, ESC, dans la figure solide; prenez B'S et B"S égaux chacun & BS de la figure solide ; des points B' et B" abaissez B'A et B"C perpendiculaires sur SA et SC , lesquelles se rencontreront en un point O. Du point A comme centre et du rayon AB' décrivez la demi-circonférence B'^E; au point O élevez sur B'E la perpendiculaire O^, qui rencontre la circonférence en b, joignez AA,

LIV» B V. ■ i5y

et l’angle EAA sera l'inclinaison cherchée des deu* plans ASC, ASB, dans l’angle solide.

Tout se réduit à faire voir que le triangle AO^ de la figure plane est égal au triangle AOB de la figure solide. Or les deux triangles B'SA, BSA, sont rectan* gles en A, les angles en S sont égaux ; donc les angles en B et B' sont pareillement égaux. Mais l’hypoté” nuse SB' est égale à l’hypoténuse SB ; donc ces triangles sont égaux ; donc SA de la figure plane est égale à SA de la figure solide, et aussi AB', ou son égale AA dans la figure plane est égale à AB dans la figure solide. On démontrera de même que SC est égal de part et d’autre ; d’où il suit que lé quadrilatère SAOC est égal dans l’une et dans l’autre figure , et qu’ainsi AO de la figure plane 'est égal à AO de la figure solide; donc dans l’une et dans fautre les triangles rectangles AOi , AOB, ont l’hypoténuse égale et un côté égal; donc ils sont égaux, et l’angle EAA, trouvé par la construction plane , est égal à l’inclinaison des deux plans SAB, SAC, dans l’angle solide.

Lorsque le point O tombe entre A et B' dans la figure plane, l’angle EAô devient obtus, et mesure toujours la vraie inclinaison des plans : c’est pour cela que l’on a désigné par EA3 , et non par OAô, l’inclinaison demandée , afin que la même solution convienne à tons les cas sans exception.

Scholie. On peut demander si, en prenant trois angles plans à volonté, on pourra former avec ces trois angles plans un angle solide.

D'abord il faut que la somme des trois angles donnés soit plus petite que quatre angles droits, sans quoi l’angle solide ne peut être formé*; il faut de plus *••• qu’après avoir pris deux des angles à volonté B'SA»

ASC, le troisième CSB" soit tel, que la perpendiculaire B'C au côté SC rencontre le diamètre B'E entre

158 CBOMBT^IÈ.

•es extrémités B' et E. Ainsi les limites de la grati-^ deur de l’angle CSB” sont celles qui font aboutir la perpendiculaire B' C aux points B' et £. De ces points ^baissez sur CS les perpendiculaires B'I , EK , qui rencontrent en I et K la circonférence décrite du rayon SB”, et les limites de l'angle CSB” seront CSI et C5K.

Mais dans le triangle isoscèle B'SI, la ligne CS prolongée étant perpendiculaire à la base B'I, on a l’an* gle CSI = CSB'==rASC-|- ASB'. Et dans le triangle isoscèle ESK , la ligne SC étant perpendiculaire à EK , on a l’angle CSKmCSE. D’ailleurs, à cause des '*riangles égaux ASE, ASB' , l’angle ASE — ASB'j donc CSE ou CSK=ASC — ASB'.

Il résulte de là que le problème sera possible toutes les fois qiie le troisiènie angle CSB” sera plus petit que la somme des deux autres ASC, ASB', et plus, grand que leur différence : condition qui s’accorde avec le théorème xxi ; car, en vertu de ce théorème, il faut qu'on ait CSB" < ASC -t- ASB'; il faut aussi qu’on ait ASC < CSB" -f- ASB', ou CSB* > ASC — .ASB’.

fftan/ donnés deux des trois angles plans qui Jormeni un angle solide^ avec l’angle que leurs plans Jbnt entre eux , trouver le troisième angle plan. - '

Soient ASC, ASB', les deux angles plans donnés, et supposons pour un moment que CSB" soit le troi- ' siènie angle que l'on cherche , alors , en faisant la même construction que dans le problème précédent ,, l’angle compris entre les plans des deux premiers serait p,A^. Or , de même qu'on détermine l’angle

EA^ par ie moyen de CSB”, les deux autres étant donnés, de même on peut déterminer CSB” par le moyen de EAé, ce qui résoudra le problème proposé.

Ayant pris SB' à volonté , abaissez sur SA la perpendiculaire indéfinie B'E, faites l'angle EAé égal a , l’angle des deux plans donnés; du point b où le cèté Kb rencontre la circonférence décrite du centre A et du rayon AB', abaissez sur A£ la perpendiculaire , et du point O abaissez sur SC la perpendiculaiie indéfinie OCB", que vous terminerez en B" de manière que SB' = SB'; l’angle CSB* sera le troisième angle plan demandé.

^ Car si on forme un angle solide avec les trois angles plans B'SA, ASC, CSB”, l’inclinaison des plans où sont les angles donnés ASB', ASC, sera égale à l'angle donné £A^.

Scholie. Si un angle solide est quadruple , ou formé gg, ,ÿg. par quatre angles plans ASB , BSC , CSD , DSA , la connaissance de ces angles ne suffit pas pour déterminer les inclinaisons mutuelles de leurs plans; car avec les mêmes angles plans on pourrait former une infinité d’angles solides. Mais si on ajoute une condilion , par exemple , si on donne l’inclinaison des deux ' plans ASB , BSC, alors l’angle solide est entièrement déterminé , et on pourra' trouver l’inclinaison de deux de ses plans quelconques. En effet, imaginer- Un angle solide tfÿfle formé par les angles plans ASB,

BSC, ASC; les deux premiers angles sont donnési ainsi que l’inclinaison de leurs plans; on pourra don^ déterminer, par le problème qu'on vient de résoudre* le troisième angle ASC. Ensuite, si on considère l'angle solide triple formé par les angles plans ASC,

AbÜ, use, ces trois angles sont connus ; ainsi l'angle solide est entièrement déterminé. Mais l'angle solide quadruple est formé par la réunion des deux angles

6o GÂOUÉT&IB. ^

solides triples dont on vient de parler ; donc, puisque ces angles partiels sont connus et déterminés, l’angle total sera pareillement connu et déterminé.

L’angle des deux plans ASD , DSC , se trouverait immédiatement par le moyen du second angle solide partiel. Quant à l’angle des deux plans RSC, GSD, il faudrait dans un angle solide partiel chercher l’angle compris entre les deux plans ASC, DSC, et dans l'autre l’angle compris entre les deux plans ASC , DSC ; la somme de ces deux angles serait l'angle compris entre les plans DSC, DSC.

^ On trouvera de la même manière que , pour dé- , terminer un angle solide quintuple, il faut connaître, outre les cinq angles plans qui le composent, deux ' des'inclinajsons mutuelles de leurs plans ; il en faudrait trois dans l’angle solide sextuple, et ainsi de suite.

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