LIVRE VI, l

que, dans le premier, sans quoi iis ne diiféreraient pas l'un de l’autre : mais alors il est clair que quelques-uns des nouveaux plans couperaient le premier polywlref il y aurait des sommets au-dessus de ces plans , et des sommets au-dessous , ce qui ne peut convenir à un polyèdre convexe : donc, si deux polyèdres ont les mêmes sommets et en même nombre, ils doivent nécessairement coïncider l'un avec l'autre.

ücholie. Etant donnés de position les points A,

G, K, etc. , qui doivent servir de sommets à un polyèdre, il est facile de décrire le polyèdre.

Choisissez d'abord trois points voisins D, E, H, fig.ao4. tels que le plan DEH passe, s’il y a lieu, par de nouveaux points K, G, mais laisse tous les autres d’un même côté, tous au-dessus du plan ou tous audessous; le plan DEH ou DEHKC, ainsi déterminéi sera une face du solide. Suivant un de ses côtés EH, conduisez un plan ‘que vous ferez tourner jusqu’à oe qu’il rencontre un nouveau sommet F , ou plusieurs à-la-fois F , I ; vous aurez une seconde face qui sera FEH ou FEHI. Continuez ainsi en faisant passer des plans par les cotés trouvés jusqu’à ce que le solide ' soit terminé de toutes parts : ce solide sera le polyèdre demandé , car il n’y en a pas deux qui puissent avoir les mêmes sommets. • •

Dans deux polyèdres symétriques les faces homologues sont égales chacune à chacune, et V inclinaison de deux faces adjacentes , dans un de ces solides , est égale à V inclinaison des faces ■homologues dans l’autre. .

Soit ABCDE la base Commune aux deux polyèdres, Tol'.

iim GBOMBTKIE.

Boient M et N les sommets de deux angles solides quelconques de l’un des polyèdres, M' et N' les somtuots liomoloniies de l’autre polyèdre; il faudra, sui* vaut lu déKnitiuii, qne les droites MM',‘ MN', soient perpendiculaires au plan ABC, et qu’elles soienliUvi* sèes en deux parties égales aux points m et n où elles rencontrent ce plan. Gela posé, je dis que la distance >1N est égale à M'N'r

• (’/«r si on fait tourner le trapèze m M'N're autour Aernn jusqu’à ce que son plan s’applique siij' le plan Wî MN/t; à cause des angles droits en m et en./i, le. côté /wM' tombera sur son égal mil, et sur «N ; donc les deux trapèzes coïncideront, et on aura

' Soit P un troisième sommet du polyèdre supérieur , et P' son homologue dans, l’autre, on aura de même.. MP=-M'P' et NP=N'P'; donc le triangle MNP, fui joint trois sommets quelconques du polyèdre su~ pAieur, est égal au^riattgle üi'WV qui joint Us trois sommets homologues de Vautre polyèdre.

Si parmi ces triangles on considère seulement ceux qiii sont formés à la surface de.s polyèdres, on peut déjà conclure que les surfaces des deux polyèdres sont composées d’un même nombre de triangles égaux chacun à chacun. ' '

Je di.s maintenant que si des triangles sont dans un même plan sur une sxufaoe et forment une même face polygone, les triangles homologues seront dans un même plan sur l’autre surface et formeront une face . polygone égale.

En effet , soient MPN, NPQ, deux triangles adjacents qu’on suppose d.ins un même plan , et soient M'P'N’, N'P'Q', leurs homologues. On a l’angle MNP=xM'N'P', l’angle PNQ=P'N'Q'; et si on joignait MQ et M'Q', le triangle WNQ serait égal à M'N'Q', ainsi on aurait . l’angle MNQ = M'N'Q'.