L.IVHB VI

Mais puisque MPNQ est un seul plan , on a l'angle MNQ=:.MNP4-PNQ; donc on aura aussi i=:ftrN'P'-t- P’N'Q'. Or, si les trois plans M'N'P'.

■ P’N'Q', M'N'Q', n’étaient pas confondus en lui 'seul , ces trois plans formeraient un angle solide , et on aurait * l’angle M' N' Q' < M' N' P' 4- P' Q' ; donc , puisque cette condition n’a pas lieu , les deuit • tria'ngles M’N'P', P'N'Q', sont dans un même plan.

11 suit de là que chaque face, soit triangulaire, soit polygone, dans un polyèdre , répond à une face égale, dans l’autre, et qu’aihsi les deux polyèdres sont com-i pris sous un même nombre de plans égaux , cliacuu à chacun. ,

11 reste à prouver que l'inclinaison de deux façes adjacentes quelconques dans l’un des polyèdres est égale à l’inclinaison des deux faces homologues dans l’autre.

Soient MPN, NPQ , deux ■ triangles formés sur l’aréte commune NP dans les plans des deux faces adjacentes; soient M'P'N', N'P'Q', leurs homologiies; on peut concevoir en N un angle solide formé pai les trois angles plans MNQ, MNP, PNQ, et en N' un angle solide formé par les trois M'N'Q', M'N'P', P'N'Q'. Or, on a déjà prouvé que ces angles plans sont égaux chacun à chacun; donc l'inclinaison des deux plans MNP, PNQ, est égale à celle dè leurs homologues M'N'P', P'N’Q'*.

Donc , dans les polyèdres symétriques , les face® sont égales chacune à chacune, et les plans de deux faces quelconques adjacentes d’un des solides , ont entre eux la même inclinaison que les plans des deux laces homologues de l’autre solide.

Sc^iolie. On peut remarquer que les angles solides d'iut polyèdre sont les spnétriques des angles solides de rautre polyèdre ; car si l’angle solide N .est forme par les plans MNP, PNQ, QNR, etc., son horaoli^

GBOMÉTHtE.'

gue N''est formé par les plans M'N'P', P'N'Q',

Q N R , etc. Ceux-ci paraissent disposés dans le même ordre que les autres ; mais comme les deux angles solides sont dans une situation inverse l’un par rapport à 1 autre, il s ensuit que la disposition réelle des plans qui forment l’angle solide N' est l’inverse de celle qui a lieu dans l’angle homologue N. D’allléurs les inclinaisons des plans consécutifs sont égales dans 1 un et dans l’autre angle solide; donc ces angles solides sont symétriques l’un de l’autre, te

■ ' scholie de la prop. XXIll, Iw. V. ‘ .

Cette remarque prouve qu’un pmtjredre quelconque ne peut avoir qu'un seul polyèdre symétrique. Car si on construisait sur une autre hase un nouveau polyèdre symétrique au polyèdre donné, les angles solides de celui-ci seraient toujours symétriques des angles du polyèdre donné; donc ils seraient égaux à ceux du polyèdre symétrique construit sur la première Jt»ase. D’ailleurs les faces homologues seraient toujours égales; donc ces deux polyèdres symétriques construits sur une base ou sur une autre auraient lés faces ' égales et les angles solides égaux ; donc ils coïncide- ' raient par la superposition , et ne feraient qu*un seul et' même polyèdre.

TRÉOBBMB. ’ ' .

Deux prisnîçs sont égaux lorsqu'ils ont un angle solide compris entre trois plans égaux chacun à chacun et semblablement placés^

■ Soit la base ABCDE égale à la base abede, le pa-

rallélogramme ABGF égal au parallélogramme abgf, et le parallélogramme BCHG égal au parallélogramme l>éhg;\e dis ijue le prisme ABCI sera égal au prisme ' abei, - ,

Livas VI. 169

Car toit posée la base ABCDE sur son égale abcde^ ces deux bases''coïncideront : mais les trois angles '

- plans qui forment' l’angle solide B sont égaux aux trois angles plans qui forment l’angle solide b, chacun à chacun, savoir, ABC^o^c, KÜG=iabg, et G]iC,—gbc; de plus ces angles sont semblablement placés : donc les angles solides B et ^ sont égaux, et ' par conséquent le côté BG tombera sur son égal bg.

On voit aussi qu’à cause des parallélogrammes égaux , ABGF, abgf, le côté GF tombera sur son égal g/\^ et semblablement GH 'sur gh;^ donc la base supérieure FGHIK. ooîncidei-a entièrement avec son égale fghïk , et les deux solides seront confondus en un seul, puisqu’ils auront les mêmes sommets*. ‘ • **• Corollaire, Deux prismes droits qui ont des bases égales et des hauteurs égales sont égaux. Car avant le côté AB égal à ab, et la hauteur BG égale à bg, le , rectangle ABGF sera égal au rectangle abgf; il eh sera de même des rectangles BGIIC, bghc; ainsi les trois plans qui forment, l’angle solide B sont égaux aux trois qui forment l'angle solide b. Donc les deiix prismes sont égaux. •

PROPosrrioN iv.

THÉOHâlSB.

Dans^ tout parallêlipipède les plans opposés sont égaux et parallèles. . . -

Suivant la définition <Ie ce solide, les bases ABCD, *«• “**• EFGH, sont des parallélogrammes égaux, et leurs côtés sont parallèles : il reste donc à démontrer que la même chose a lieu pour deux faces latérales opposées , telles que AËHD, BFGC. Or, AD est égale et parallèle à BG, puisque la figure ABCD est un parai-.

‘ijo r. eombtrib. ^ .

lélogramme; par une raison semblable AE est égale et parallèle à îlK : donc l’angle DAE est égal à l’angle *3i, s. (.BI* *, et le plan DAE parallèle à CBF ; done aussi le parallélogramme DAEH est égal au parailélograninie CBEG. On démontrera de même que les parallélogrammes opposés ABFE, DCGH, sont égaux et parallèles.

CoroUnire. Puisque le parallélipipède est un solide compris sous six plans dbnt les opposés sont égaux et parallèles, il s’ensuit qu’une face quelconque .et son opposée peuvent être prises pour les bases du paral- 'lélipipède. ' ' ■ ■

' Scholié. Etant données trois droites, AB, AÈ, AD, passant par un même point A, et faisant entre elles des angles donnés , on peut sur ces trois droites cona- . tniire un parallélipipède; il faut pour cela -mener par l'extrémité de chaque droite un plan parallèle nu plan des deux antres; savoir, par le point B un ' plan parallèle à DAE, par le point D un plan parallèle à BAE , et par le point E un plan parallèle à BAD. Les rencontres mutuelles de ces plans formeront le parallélipipède demandé.

Dans tout parallélipipède, les angles solides • .opposes sont symétriques l'-un de l’aiUre ; et les diagonales menées- par les sommets de ces angles se coupent mutuellement en deux parties égales.

rig..ao6. Comparons, par exemple, l’angle solide A à son opposé G ; l’angle EAB, égal à EFB, est aussi égal à HGC, l’angle DAE — DHE = CGF, et l’angle DAB t=DCB — HGF; donc les trois angles plans qui foi>

,^ 1 . 1 »» >• VI. . ' tyi

ment l’angle solide A sont égaux aux trois qui forment . . l'angle solide 6, chacun à chacun; d'ailleurs il est ' facile de voir que leur disposition est différente dans l'un et dans l’auti e; donc 1 “ les deux angles solides A et G sont symétriques l'un d« l’autre *. * ï-

' En second lieu ,* imaginons deux diagonales ËG^

AG , menées l'one et l'autre par des sommets opposés : puisque AË est égale et parallèle à CG , la figure AEGC est un parallélo^mme; donc les diagonales EC, AG, se couperont, inutuellement en deux parties égaies On démontrera de même que la diagonale EC et une ' autre DF se couperont aussi en deux parties égales; donc a" les quatre diagonales se couperont nintuellement en deux parties égalés , dans un même point qu’on peut regarder comme le centre du parallélipîpètle. - , . . V

*THÉOBKMS.

Le pioft BDHF, qui passe par deux arêtes «g. »*r paralVeles opposées BF , DH , divise le parallélipipede AG en deux prismes, triangulaires ABDHEF, GHFBCD, symétriques Fan- de r autre. • - •

'D’abord ces deux solides sont des prismes; car les . tria ngles ABD , EFH , ayant leurs côtés égaux et parai* lèles , sont égaux , et en même temps les faces latérales ABFE, ADHE, BDHF, 'sont des parallélogrammes; donc le solide ABDHEF est un prrsme : il en est de même du solide GHFBCD.de dis maintenant que ces deux prismes sont symétriques l’on de l'autre.

Sur la base ABD faîtes le prisme ABDE'F’W' que .sort le sÿmetriquè «lu prisme ABDEFII. Suivant* ce qui a été démontré *, le plan AUF'E’ est égal à . * ’•

'179 6 KOMBTfeII,

' ABFE, et le plan ADH'E', nst ëgal à AÔHE; niait si on compare le prisme GHFBCD gu prisme , ABDH'E'F', la base GHF est égale à ABD; le parallélogramme GHDC, qui est -égal à ABFE, est aussi égal à ABF'E', et le parallélogramme GFBC , qui est égal à ADHE, est aussi égal >à ADH'Ë'; donc les trois plans qui forment l’angle solide G dans le prisme GHFBCU, sont égaux aux trois plans qui forment l'angle solide A dans le prisme ABDH'E'F', chacun à chacun, d'ailleurs ils sont disposés sem- ; blablement; donc ces deux prismes sont égaux *, et pourraient être 'superposé. Mais i’un d'eux ABDH'E'F^ ^ est symétrique du prisme ABDHEF^ .donc l’autre, GHFBCD, est aussi le symétrique de

ABDHEF. ... ''

PROPOSITION vri.

LEMMB.

fig.sot. Dans tout prisrtie ABCI, les sections NOPQR STA'X Y , yàt/er par des plans parallèles, sontdes polygones égaux. ' ^

Car les côtés NO, ST, sont parallèles, comme étant ■ les intersections de deux plans parallèles par un troisième plan ABGF; ces mêmes côtés NO, 'ST,. sont compris entre les parallèles NS, OT, qui sont côtés du prisme; donc NO est égal à ST. Par une semblable raison les côtés OP, PQ, QR, etc., de la section NOPQR i sont égaux respectivement aux côtés TV, VX, XY, etc., de la section STVXY. D'ailleurs les côtés égaux étant en même temps parallèles il s'ensuit que les angles NOP, OPQ, etc., de la première section , sont égaux respectivement aux angles STV, TVX, etc., de la seconde. Donc les deux sections NOPQR, S'TVXy , sont des polygones égaux.