LIVRE VI

‘ CoraUaxre. Toute section faite dans un prisme parallèlement à sa base , est égale i cette base.

~ ' TRÉORéllB.

Les deux prismes triangulaires symétriques «r. ABDHEF, BCDFGII, dans lesquels se décompose le parallélipipede AG, sont équivalents entre eux.

Par les sommets B et F menez perpendiculairement au côté BF, les plans Ba^fc, FeA^, qui rencontreront, d'une part en a , d , c , de l'autre en e, A, les trois autres côtés AE, DH , CG, du même parallélipipède^ les sections hadc, F<;A^, seront des parallélogrammeg égaux. Ces sections sont égales, parce qu’elles sont faites par des plans perpendiculaires à une même droite et 'par conséquent parallèle.s elles sont des parallélo- * * 7* grammes, parce que dèiix côtés; opposés d’une même section aQ^dc, sont les intersections de deux plans parallèles ABFE, DCGH, par un même plan.

Par une raison semblable, la figure Ba«F est un parallélogramme , 'ainsi que les autres faces latérales BF^'C, cdhg, adhe, du solide YiadcYehg ; donc ce solide est un prisme * ; et ce prisme est droit , puisque •HL le côté BF est perpendiculaire au plan de la base.

Cela posé , si par le plan BFHD on divise le prisme droit BA en deux prbmes triangulaires droits aüdeYh , ■Bd'cFA^; je dis que le prisme triangulaire oblique ABUEFH , sera équivalent au prisme triauguiaii^ droit ahdéYk.

En effet ces deux prismes ayant une partie commune ABOAeF, il suffira de prouver que les partiesrestantes, savoir ^ les solides BaAD</, FeEHA sont équivalents entre eux.

|j4 GBOMÉtlirH.

Or, k cause des parallélogrammes ABFE, âBFe,l«s côtés AE, ae, égaux à leur parallèle BF, sont égaux entre eux; ainsi, en ôtant la partie commune Ae, il restera Aa = Ee. On prouvera de même que Dd = HA.

Maintenant , pour opérer la superposition des deux solides BaAD</, FeEHA, plaçons la base FcA sur son égale Barf; alors le pointe tombant en a, et le point A en d, les côtés eE, hH, tomberont sur leurs égaux aA , (/D, puisqu’ils sont perpeniliculaires au même plan Bad. Donc les deux solides dont il s’agit coïncideront entièrement l’un avec l’autre; donc le prisme oblique BADFEH est équivalent au prisme droit Badl^eh.

On démontrera semblablement que le prisme oblique BDCFHG est équivalent au prisme droit BtA-FA^^; Mais les deux prismes droits BadFcfi, BdcF/ig sont égaux entre eux, puisqu’ils ont même hauteur BF, et que leurs bases Ba</, Bdc sont moitiés d'un même parallélogramme *. Donc les deux prismes triangulaires BADFEH, BDCFHG, équivalents à des prismes égaux, sont équivalents entre eux.

Corollaire. Tout prisme triangulaire ABDHEF est la moitié du parallélipipède AG , construit sur le même angle solide A , avec les mêmes arêtes AB , AD, AE. ‘ ■-

PROPOSlTiON IX; ' :~

THBOHâMX ' "

.Si deux fju/allcli/^ipèdes AG, AL, ont une base coninuine ABC!) , et que leurs bases supè^ Heures EFGH , 1K.LM , soient comprises dans un même plan et entre les mêmes parallèles Hij, ces deux parallélipipèdes seront équivalents entre eux. ' ' ' ' ,

Ltvht. vi^-

11 peut arriver trois c^, selon que 'El est plus ij grantl) plus petit ou égal à EF ; mais la démonstration*^, est la même pour tous : et d'abord je dis que le prisme triangulaire AËIDHM est égal au prisme triangulaire BFKCGL.

En effet) puisque A£ est parallèle à BF et IIE à GF, l’angle .AEI = BFK, HE1 = GFK, et IlEA :^ GFB. Ue ces six angles les trois premiers forment l’angle solide E, les trois autres forment l’angle solide F J donc, puisque les angles plans sont égaux chacun à chacun., et semblablement disposés, il s’ensuit que les angles solides E et F, sont égaux. Maintenant, si on pose le prisme AEM sur le prisme BFL , et d'abord la base AEl sur la base BFK, ces deux bases étant égales, coïncideront ; et puisque l’angle solide £ est égal à l’angle solide F, le côté £11 tombera sur son égal FG : il n’en faut pas davantage pour prouver que les deux prismes coïncideront dans toute leur éten' due; car la base AEI et l’arête EH déterminent le prisme AEM, comme la base BFK et l’arête FG dé' terminent le prisme BFL *J donc ces prismes sont égaux.

Mais si du solide AL bn reb^nche le prisme AEM,

U restera le parallélipipède AIL ; et si du même solide AL on retranche le prisme BF'L , il restera le parallélipipède AEG; donc les deux parallélipipèdes AIL, AEG, sont équivalents entre eux.

pROPosrnoN X;

' ÏHÉORÈltE.

Deux parallélipipèdes de même base et de même hauteur sont équivalents entre eux.

Soit ABCD la base commune aux deux paralléli- fig.'ito. pipèdes AG , AL; puisqu’ils ont même hauteur , leurs bases supérieures EFGU, (KLM, seront sur le même

CÉOHllt»!*.

plan. De plus les côtés EF et AB soôt égaux et parai- • lèles , il en est de même de IK. et AB ; donc EF est égal et parallèle à IK : par une raison seqiblable GF est égal et parallèle à LK. Soient prolongés les côtés EF, HG, ainsi que LR, IM, jusqu’à ce que les uns et les autres forment par leurs intersections le parallélogramme NOPQ, il est clair que ce parallélogramme sera égal h chacune des bases EFGH, IKLM. Or si on imagine un troisième parallélipipède qui, avec la même base inférieure ABCD , ait pour base supérieure KOPQ , ce troisième parallélipipède serait équivalent . . au parallélipipède AG", piiisqu’ayant même base infé-

* rieure, les bases supérieures sont comprises dans un

même plan et entre les parallèlesGQ,FN.Parlamême

raison ce troisième parallélipipède serait équivalent au parallélipipède AL; donc les deux parallélipipèdes AG, al, qui ont même base et même hauteur, sont équivalents entre eux.

, ■ • - th É oaéME.

Tout parallélipipède peut être changé en un parallélipipède rectangle équivalent qui aura même hauteur et une base équivalente.

- „„ Soit AG le parallélipipède proposé; des poinu A, B, G, D, menez AI, BK,CL,DM, perpendiculaires au plan de la base , vous formerez ainsi le parallélipipède AL équivalent au parallélipipède AG, et dont les ' faces latérales AK , BL, etc. , seront des rectangles. Si donc la b.isc ABCD est un rectangle, AL sera le parallélipipède rectangle équivalent au parallélipipède proposé AG. Mais si ABCD n’est pas un rectangle, menez AO et BN perpeiuliculaires sur CD, ensuite OQ et N P perpendiculaires sur la base , vous aurez le solide ABNOIKPQ qui sera un parallélipipède rectangle :

LIVRB VI.

en effet, par constructiou , la base ABNO et son op- r posée IKPQ sont des rectangles; les faces latérales en sont aussi, puisque les arêtes AI, OQ, etc. , sont per- ' ' péndiculaires au plan de la base; donc le solide AP est un parallélipipède rectangle. Mais les deux parallélipipèdes AP, AL, peuvent être censés avoir même' • . base ABKI et même hauteur AO : donc ils sont équivalents; donc le parallélipipède AG, qu’on avait d’abord changé en un parallélipipède équivalent AL, se '* *"• trouve de nouveau changé en un parallélipipède rectangle équivalent AP, qui a la même hauteur AI, et dont la base ABNO est équivalente à la base ABCD.

' , TBÉOHÊMB. ; . .

Deux parullélipipcdes rectangles AG, AL, fig.au.

, ‘ qui ont la même hase ABCD, sont entre eux comme leurs hauteurs AE, AI.

Supposons d’abord que les hauteurs AE, Ai, soietat • entre elles connpe deux nombres entiers, par exemple, comme i On divisera AE en 1 5 parties égales,

dont Al contiendra 8, èt par les points de division a:,

Z, etc., on l^nera des plans parallèles à la basé.

Ces plans part^eront le solide AG en i5 parallélipb pèdcs partiels qui seront tous égaux entre eux, comme ayant des bases égales et des hauteurs égales ; des bases égales, parce que toute section comme MIKL, faite ^ dans un prisme parallèlement à sa base ABCD, ést égale

à cette base"*; des hauteurs égales, parce que ces hau- ^ *7. leurs sont les divisions mômes Ax, xjr^xz, etc. Or, de ces i5 parallélipipédes égaux hiut sont contenus dans AL; donc le solide AG est au solide AL comme 1 5 est à 8, ou en général comme la hauteur AE est à la hauteur AI. ,

ta . ' .

^ iijé Gioùititkr

En second lieu,' si le rapport de AE à AI ne péilt s’exprimer" en nombres, je dis qu’on n’en aura pas moins solid. AG : solid. AL : : AE ; AI. Car , si <^tte proportion n’a pas lieu, supposons qu’on ail m/. AG : sôf. AL : : AE : AO. Divisez AE en parties égales dont chacune soit plus petite que OI , il y aura au moins un point de division m entre O et I. Soit P le paral- • lëlipipètle qui a pour base AHCD et pour hauteur Am; puisque les hauteurs AE, Am sont entre elles comme deux nombres entiers, on aura sol. AG : P :: AE : Am. Mais on a, par hypothèse, sol. AG : sol. AL î: AE : AO; de là résulte sol. AL ; P : : AO : Am. Mais AO est plus'grand que Km; donc il faudrait, pour que la ' proportioa eftt lieu, que le solide AL fi\t plus grand que P. Or au contraire il est plus petit : donc il est impossible que le quatrième terme de la proportion sol. AG ; soi. AL :: AE : x, soit une ligne plus grande que AL Par un raisonnement semblable on démon- : trerait que le quatrième terme ne peut être plus petit , que Al ; donc il est égal à AI ; donc les parallélipipèdes rectangles de même base sont entre eux comme leurs hauteurs. ^

PROPOSITION Xlll.

TpEOaBME.

Deux parallélipipèdes rectangles AG, AK., qui ont même hauteur A E, .sont entre eux comme leurs hases ABCl), AMNü.

Ayant placé les deux solides l'un à côté de l’autre, comme la ligure les représente , prolongez le plau ONKL, jusqu’à ce qu’il rencontre le plan DCGU suivant PQ, vous aurez un troisième parallélipipède AQ, qu'on pourra comparera chacun des parallélipipèdes AG , AK. Les deux solides AG, AQ, ayant même bas*

1 1 V a li y t. ' ' , ijjj

AEHL), sont entre eux comme leurs hauteurs AO, AB j pareillement les deux solides AQ, AK, ayant même hase AO LE, sont entre eux comme leurs hauteurs AD, AM. Ainsi on aura les deux proportions, ^ sol. AG : sol. AQ AB : AO,

' . sol. AQ : sol. AK ;; AD : AM. • '

Multipliant ces'deux proportions par ordre, et umet^ tant, dans le résultat, le multiplicateur commun sol. AQ, on aura,

sol. AG : sol. AK :: AB x AD : AO x AM.

Mais AB X AD représente la base ABCD,et AOx AM' représente la base AMNO ; donc deux parallélipipèdcs rectangles de même hauteur sont entre etix comme leurs bases., ' . , '

i r PROPOSITION X.1V. ' V

- • : ' , THÉOaâMB. . ..

■ Deux paraUétipipèdes rectangles quelconques sont entre eux comme les produits de leurs hases . par leurs hauteurs , ou comme les produits de leurs trois dimensions.

Car ayant placé les deux solides .\G , AZ, de ma. nière que leurs surfaces aient l'angle commun BAEt prolongez les -plans nécessaires pour former le troisième parallélipipède AK de même hauteur avec le parallelipipède AG. On auia , par la proposition précédente,

«o/.‘ AG : sol. AK ;; ABCD : AMîVO. " ’ - Mais les deux parallélipipèdes Aly, AZ, qui out même hase AMNO, sont entre eux comme leurs hauteurs AË, AK ; ainsi on a, , ^ ^

. Sol. AK : n}/. AZ .."AK ; AK.^^ ’ ;

Multipliant ces deux proportions par ordre, et uinei-

fi({ /»i3

l8o ' ciouétAiv,

tant, dans le résultat, le nmltipiicàteur commun

AK, on aura

^ soL AG : sol. AZ : : ABCD x AE : AMNO X AX. - • A la place des bases ABCD et AMNO, on peut mettre ABx AD et AO X AM, ce qui donnera, sol. KG : sol. AZ : : ABx AD X AE : AO X AM x AX. Donc deux parallélipipèdes rectangles quelconques sont enti'C eux , etc.

Sclwlie. il suit de là qu'on peut prendre pour mesure d'un parallélipipède rectangle le produit de sabase par sa hauteur, ou le produit de ses trois dimensions. C'est sur ce principe que nous évaluerons tous les autres solides.

Pour l'intelligence de cette mesure il faut se rap- . peler qu'on entend par produit de deux ou de plusieurs lignes, le produit des nombres qui représentent ces lignes, et ces nombres dépendent de l’unité linéaire qu'on peut prendre à volonté ; cela posé, le produit des trois dimensions d’un parallélipipède est un nombre qui ne signifie rien en lui -même, et qui serait différent si on avait pris une autre unité linéaire. Mais' si on multiplie de même les trois dimensions d’un autre' parallélipipède, en les évaluant d'après la même unité linéaire, les deux produits seront entre eux comme les solides, et donneront l'idée de leur grandeur. relative. ' ■

La grandeur d’un solide, son volume ou son étendue constituent ce qu’on appelle sa solidüé, et le mot de solulitc est employé particulièrement pour désigner la mesure d'un solide : ainsi on dit que la solidité d'un parallélipipède rectangle est égale au produit de sa base par sa hauteur , oq au produit de ses trois dimensions.

Les trois dimensions du cube étant égales entre elles, si le côté est i , la solidité sera i x i + 1 , ou i ; si le côté est a, la solidité sera a x a X a, ou 8; si le