LIVRE Vllt

vant l’axe , est un triangle isoscèie double du triangle générateur SAB.

III. ’ Si du cône SCDB on retranche, par une section parallèle à la base, le cône SFKH, le solide restant CBHF s’appelle cône tronqué ou tronc de cône.

On peut supposer qu’il est décrit par la révolution du trapèxe ABHG, dont les angles A et G sont droits, autour du côté AG. La ligne immobile AG s'appelle l'axe ou la hauteur du tronc ^ les cercles BDC, HFK , en sont les bases, et BH en est le côté.

IV. Deux cylindres ou deux cônes sont semblables lorsque leurs axes sont entre eux comme les diamètres de leurs bases.

V. Si, dans le cercle ACD qui sert de base à un 6g. »5a. cylindre, on inscrit un polygone ABCDE, et que sur

la base ABCDE on élève un’ prisme droit égal en hauteur au cylindre, le prisme est dit inscrit dans le r cylindre, ou le cylindre circonscrit au prisme. . .

Il est clair que les arêtes AF, BG, CH, etc. du prisme, étant perpendiculaires au plan de la base, sont comprises daii.s la surface convexe du cylindre; donc le prisme et le cylindre se touchent suivant ces . arêtes. -

VI. Pareillement , si ABCD est un polygone circon- 6g. »5î. scrit à la base U'uii cylindre, et que sur la base ABCD

on construise un'prismc droit égal en hauteur au cylindre, le prisme est dit circonscrit au cylindre , ou le cylindre inscrit dans le prisme.

Soient M, N, etc. les points de contact des côtés AB, BC, etc. et soient élevées par les points M, N, etc. les perpendiculaires MX, NY, etc. au plan de la base; il est clair que ces perpendiculaires seront à-la- > fois dans la surface du cylindre et dans celle 'du prisme circonscrit ; donc elles seront leurs Ugnes de contact.

ïi. B. Le cylindrt , le cSoe, et In tphere, sont les trois corps romis 'dont on s'ocoope dsns les éléments.

CiOM^TKllI.

fig ï54.

' > Lemmes préliminaires sur les surfaces,

Une surface plane OABCD est plus petite que toute autre surface PABCD , terminée au même contour ABCD. ,

Cette proposition est assez évidente pour être rangée au nombre des axiomes; car on pourrait supposer queie plan est parmi les surfaces ce que là ligne droite est parmi les lignes : la ligne droite est la pins courte entre deux points donnés, de même le plan est la surface la plus petite entre toutes celles qui ont un même contour. Cependant comme il convient de réduire les axiomes au plus petit nombre possible, voici un raisonnement qui ne laissera aucun doute jiur cette proposition.

Une surface étant une étendue en longueur et en largeur, on ne peut concevoir qu’une surface soit plus grande qu’une autre, à moins que les dimensions de la première n’excèdent dans quelques sens celles de la seconde; et s’il arrive que les dimensions d'une surface soient en tous sens plus petites que les dimensions d’une autre surface, il est évident que la première surface sera la plus petite des deux. Or, dans quelque sens qu’on fasse passer le plan BPD , qui coupera la surface plane suivant BD, et l'autre surface suivant BPD , la ligne droite BD sera toujours plus • petite que BPD ; donc la surface plane OABCD est plus petite que la surface environnante PABCD.

Toute surface convexe OABCD est moindre

qu'une eustre surface quelconque qui envelopperait la première en s'appuyant sur le ntéme contour ABCl).

LlVHB Vtll. l4^

JVobs répéterons ici que nous entendons par surface convexe une surface qui ne peut être rencontrée par une ligne droite en plus de deux points : et cependant il est possible qu’une ligne droite s'applique exactement dans un certain sens sur une surface convexe; on en voit des exemples dans les surfaces du cône et du cylindre. Nous obseiverons aussi que la dénomination de surface convexe n'est pas bornée aux seules surfaces courbes; elle comprend les surfaces polyèdrales ou composées de plusieurs plans, et aussi les surfaces en partie courbes, en partie po~ lyédrales. ’

Cela posé, si la surface UABCD n’est pas plus petite que toutes celles qui l’enveloppent, soit parmi celles-ci PABCD la surface la plus petite qui sera a*J plus égale à OABCD. Par un point quelconque O , faites passer un plan qui touche la surface OABGU sans la couper; ce plan rencontrera la surface PABCD, et la partie qu’il en retranchera sera plus grande qu<^ le plan terminé à la même surface* : donc, en con~ *iem. r servant le reste de la surface PABCD, on pourrai substituer le plan k la partie retranchée , et on aurait une nouvelle surface qui envelopperait toujours la sur- • face OABCD , et qui serait plus petite que PABCD.

Mais celle-ci est la plus petite de toutes par hypothèse; donc cette hypothèse ne saurait subsister, donc la surface convexe OABCD est plus petite que toute autre surface qui envelopperait OABCD , et qui serait terminée au même contour ABCD.

Scho/ie, Par un raisonnement entièrement semblable on prouvera,

i** Que, si une surface convexe terminée par deux £g. * 56 . contours ABC, DEF, est enveloppée par une autre siudace quelconque terminée aux mêmes contours, la surface enveloppée sera la plus petite des deiu..

* >em. I .

fig. *5».

s 44 OBOkBTRIB.

a” Que , si une surface convexe AB est enveloppëe lie toutes parts par une autre surface MN, soit qu’elles ■ aient des points, des lignes ou des pians communs, suit qu’elles n'aient aucun point de commun, la surface enveloppée sera toujours plus petite que la surface enveloppante.

Car parmi celles-ci il ne peut ‘y en avoir aucune qui soit la plus petite de toutes, puisque dans tous les cas on pourrait toujours mener le plan CD tangent à la surface coivvexe , IcHjuel plan serait plus petit que la surface C!\ID*; et ainsi la surface "CND serait plus pi'tite que MN, ce qui est contraire à l’hypothèse que MN' est la plus peiite,de toutes. Donc la surface convexe AB est plus petite que toutes celles qui l’enveloppent.

PROPOSITION PREMIÈRE

THÉORÈME

La solidité d’un cylindre est égale au produit de sa hase par sa hauteur.

Soit CA le. rayon de la base du cylindre donné, n sa hauteur^ représentons par surf. CA la surface du cercle dont le rayon est CA ; je dis que la solidité du cylindre sera CA X H. Car , si

surf. CAx H n'est pas la mesure du cylindre donné, ce produit sera la mesure d’un cylindre "plus grand ou plus petit. Et d’abord supposons qu’il soit la mesure d'un cylindre plus petit, par exemple, du cylindre dont CD est le rayon de la base et H la hauteur.

Circonscrivez au cercle dont le rayon'est CD, un polygone régulier GHIP, dont les côtés ne rencontrent pas la cii’conférence dont CA est le rayon * ; imaginez ensuite un prisme droit qui ait pour base le

■0i„ t , Googk

LITBKVIII. &4S

polygone GHIP, et pour hauteur H, lequel prisme sera circonscrit au cylindre dont CD est le rayon de • la base. Cela posé, la solidité du prisme* est égale à sa base GHIP, multipliée par la hauteur H; la base GHIP est 'plus petite que le cercle dont CA est le rayon : donc la solidité du prisme est plus petite qu^ surj. CAxH. Mais surf. CA X H est, par hypothèse, la solidité du cylindre inscrit dans le prisme; donc le prisme serait plus petit que le cylindre : or , au contraire,^ le cylindre est plus petit que le prisme , puisqu’il y est contenu ; donc il est impossible que surj. CA X H soit la niesüre du cylindre dont CD est le rayon de la base et H la hauteur ; ou , en termes • plus généraux , U produit de la base (T un cylindre par sa hauteur ne peut mesurer un cylindre plus . petit.

Je dis en second lieu que ce même produit ne peut mesurer un cylindre plus grand : car, pour ne pas multiplier les figures, soit CD le rayon de la base du cylindre donné, et soit, s’il est possible, suif. CDx H la mesure d’un cylindre plus grand, par exemple, du cylindre dont CA est le rayon de la^base et H la hauteur.

Si on fait la même construction que dans le premier cas., le prisme circonscrit au cylindre donné aura pour mesure GHIP X H : l’aire GHIP est plus grande que suif. CD ; donc la solidité du prisme dont il 's’agit est plus grande que suf. CDxH : le prisme ' serait donc plus grand que le cylindre de même hau» teur qui a pour base suf. CA. Or, au contraire, le prisme est plus petit que le cylindre, puisqu’il y est contenu ; donc il est impossible que la base d'un tylùulre multipliée par sa hauteur soit la mesure d'un cylindre, plus grand.-

Donc enfin la solidité d’un cylindre est égale droduit de sa base par sa hauteur.

au

S>46 OiOKBTSIt. '■

Corollaire I. Les cylindres de même hauteur sont . entre eux comme leurs bases , et les cylindres de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.

Corollaire II. Les cylindres semblables sont comme les cubes des hauteurs , ou comme les cubes des diamètres des bases. Car les bases sont comme les quarrés de leurs diamètres ; et puisque les cylindres sont semblables, les diamètres des basés sont comme les *dir. 4 . hauteurs* : donc les bases sont comme les quarrés des hauteurs ; donc les bases multipliées par les hauteurs, ou les cylindres eux -mêmes, sont comme les cubes des hauteurs.

Scholie, Soit R le rayon de la base d’un cylindre,- H sa hauteur, la surface de la base sera irR’*, et la solidité du cylindre sera irR’ xH, ou itR’H.

La surface convexe d'un prisme droit est égale - au périmètre de sa base multiplié par sa hauteur.

fig. iSs. Car cette surface est égale à la sdmme des rectangles AFGB^ BGHC, CHID, etc. dont elle est composée; or les hauteurs AF, BG, CH, etc. de ces rectangles sont égales k la hauteur du prisme; leurs bases AB, BC, CD, etc. prises ensemble , font le périmètre de la base du prisme. Donc la somme de ces rectangles ou la surface convexe du prisme est égale au périmètre de sa base multiplié par sa hauteur.

Corollaire. Si deux prismes droits ont la même hauteur, les surfaces convexes de ces prismes seront . ‘ entre elles comme les périmètres de leurs bases.

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