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La surface convexe du cylindre est plus grande que la surface convexe de tout prisme inscrit, et ^
plus petite que la surface convexe de tout prisme circonscrit.
Car la surface convexe tlu cylindre et celle du 6g.î5j. ' prisme inscrit ABCDEF peuvent être considérées comme ayant même longueur, puisque toute section faite dans l’une et dans l’autre parallèlement à AF est égale à AF ; et si pour avoir les largeurs de ce» surfaces on les coupe par des plans parallèles à la base ou perpendiculaires à l’arête AF, les sections seront égales, l’une à la circonférence de la baseï l’autre au contour du polygone ABCDE plus petit que cette circonférence : donc , puisqu’à longueur égale la -largeur de la surface cylindrique est ^lus grande que celle de la surface prismatique, il s’ensuit que la première surface est plus grande que la seconde.
Par un raisonnement entièrement semblable on 'fig. »S3. prouvera que la surface convexe du cylindre est plus petite què celle de tout prisme circonscrit BCDKLH.
THÉOaÂlfB.
La surface convexe d’un cylindre est égale à la' circonférence de sa base multipliée par sa hauteur.
Soit CA le' rayon de la base du cylindre donné-, fig. iSS. . H sa hauteur ; si on représente par cire. CA la circonférence qui a pour rayon CA , je dis que
a48 GKOMÉTRIE.
' eirc. CA x H sera la surface convexe de ce cylindre. Car , si on nie cette proposition , il faudra que cire. CA X H soit la surface d’un cylindre plus grand ou plus petit; et d’abord supposons quelle soit la surface d’un cylindre plus petit, par exemple, dn cylindre dont CI) est le rayon de la base et H la
■ hauteur.
Circonscrivez au cercle . dont le rayon est CD un polygone régulier GHIP , dont les côtés ne rencontrent pas la circonférence qui a CA pour rayon ; imagines ensuite un prisme droit qui ait pour hauteur H, et pour base le polygone GHIP. La surface convexe de ce prisme sera égale au contour du polygone . GHIP multiplié par la hauteur H * : ce contour est > plus petit que la circonférence dont le rayon est CA; donc la surface convexe du prisme est plus.petite que cire. CA X H. Mais cire. CA x H est , par hypothèse , la surface convexe du cylindre dont CD est le . rayon de la base , lequel cylindre est inscrit dans le prisme ; donc la surface convexe du prisme serait plus petite que celle dii cylindre inscrit. Or, au contraire, elle doit êti'e plus grande * ; donc l’hypothèse d’où l’on est parti est absurde: donc, i" la circonjérenca de la base d’un, cjrlindre' multipliée par sa hauteur ne peut mesurer la surjace convexe d’un cylindre' plus petit.
Je dis en second lieu que ce même produit ne peut mesurer la surface d’un cylindre plus grand. Car, pour ne pas changer de figure , soit CD le rayon de la base du cylindre donné, et soit, s’il est possible, etre. CDx H la surface convexe d’un cylindre qui, avec la même hauteur , aurait pour base un cOrcle plus grand, par exemple, le cercle dont le rayon est- CA. On fera la même construction que dans la pre- ' mière hypothèse, et la surface convexe du prisme sera toujours égale au contour du polygone GHIP,
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