LIVRE VllI

multiplié par la hauteur H. Mais ce contour est plus grand que cire. CD; donc la surface du prisme serait plus grande que cire. CD x H , qui , par hypothèse , .

est la surface du cylindre de même hauteur dont CA est le rayon de la base. Donc la surface du prisme serait plus grande que celle de ce cylindre. Maisi quand même le prisme serait inscrit dans le cylindre > sa surface serait plus petite que celle du cylindre * à plus forte raison est -elle plus petite lorsque le ' prisme ne s’étend pas jusqu’au cylindre. Donc la seconde hypothèse ne saurait avoir lieu ; donc ia circonférence de fa base d'un cjrlindre multipliée par sa hauteur ne jseiU mesurer la surface d'un cylindre plus grand. -•

Donc enfin la surface convexe d’un cylindre est égale à la circonférence de sa base multipliée par sa hauteur. •v,"'..-

•' THÉORBHB. . ■ '

La solidité d’un cône est égale au produit de sa base par le tiers de sa hauteur.

Soit SO la hauteur du cône donné, AO le rayon *«■»•%• de la base; si on désigne par surf. AO la surface dp la base, je dis que la soliililé de ce cône sera égale ^ suif. AOx j SO.

En efiet, supposons i °. que su//T AO XÿSO soit la solidité d’un cône plus grand, par exemple, du cône dont SO est toujours la hauteur^ mais dont OB plus grand que AO , est le rayon de la base.

Au cercle dont le rayon est AO circonscrives uij ’

polygone régulier MNP'f qui ne rencontre pas la . .

circonférence dont le rayon est OB * ; imi^inez en* suite une pyrauude qui ^ ait pour base le polygone et pour sommet le point S. La solidité de cette py- ■

sfto eéoMKTniB.

ramide* est ^gale à l’aire du polygone MNPT multipliée par le tiers de la hauteur SO. Mais le polygone est plus grand que le cercle inscrit représenté par surf. AO ; donc la pyramide est plus grande que AOx^SO, qui, par hypothèse , est la mesure du cône dont S est le sommet et OB le rayon de la base. Or, au contraire, la pyramide est plus petite que le cône, puisqu’elle y est contenue; donc i“ il est impossible que la base d’un cône multipliée par . le tiers de sa hauteur soit la mesure d’un cône plus grand.

Je dis a" que ce même produit ne peut être la me- ^ sure d’un cône plus petit. Car, pour ne pas changer “de figtire, soit OB le rayon de la base du cône donné , et soit , s’il est possible , surf. OB x jSO la solidité du cône qui a pour hauteur SO et pour base le cercle dont AO est le rayon. On fera la même construction que ri-tlessus , et la pyramide SMNPT aura pour mesure l’aire MNPT multipliée par ÿ SO. Mais l’aire MJNPT est plus petite que surf. OB ; donc la pyramide aurait une mesure plus petite que surf.

OB X 3 SO , et par conséquent elle serait plus petite que le cône dont AO est le rayon de la base et SO la hauteur. Or, au contraire, la pyramide est plus grande que le cône , puisque le cône y est contenu : donc a” il est impossible que la base d'un cône multipliée par le tiers de sa hauteur soit la mesure d’un cône plus petit.

Donc enfin la solidité d’un cône est égale au produit de sa base par le tiers de sa hauteur.

Corollaire. Un cône est le tiers d’un cylindre de même base et de même hauteur ; d’où il suit ,

i" Que les cônes d’égales hauteurs sont etitre eux comme leurs bases ;

a" Que les cônes de bases égales sont entre eux comme leurs hauteurs ; , ‘ '