TH ÉO R K H B

. Le cône tronqué , dont kO, DP sont les rayons des bases et PO la hauteur , a pour me~

OP. (aO-4- DP-H AO X dp). •

Soit TFGH une pyramide triangulaire de même ' hauteur que le cône SAB, et dont la base FGH .soit équivalente à la base du cône. On peut supposer que ces deux bases sont placées sur un même plan ; alors' les sommets S et T seront à égales distances du plan ' ’ des bases, et le plan EPD prolongé fera dans la pyramide la section IKL. Or je dis que cette section IKL est équivalente à la base DE; car les bases^AB, DE, sont entre elles comme les quarrés des rayons AO ,

DP*, ou comme les quarrés des hauteurs SO, SP; *ir, 4 ., les triangles FGH, IKL, Sont entre eux comme les quarrés de ces mêmes hauteurs*; donc les cercles * iM- AB, DE, .sont entre eux comme les triangles FGH,

IKL. Mais, par hypothèse, le triangle FGH est équivalent au cercle AB; donc le triangle IKL est équivalent au cercle DE.

Maintenant, la base AB multipliée par jSO est la solidité du cône SAB, et la base FGH multipliée par •jSO est: celle de la pyramide TFGH; donc, à cause des bases équivalentes, la solidité de la pyramide est égale à celle du cône. Par une raison semblable, la pyramide TIKL est équivalente au cône SDE; dônc

aSa OÉOMBTRIB.

le tronc de cône ADEO est équivalent au tronc de pyramide FGHIKL: Mais la base FGH, équivalente ' au cercle dont le rayon est AO, a pour mesure

irxAO; de même la base IKL =: X DP, et la

moyenne proportionnelle entre w x AO et it x DP est iï X AO X DP; donc la solidité du troue de pyra- ‘ mide , ou celle du tronc de cône , a pour mesure OP X

■ * ao,6. (itx AO+itx DP+tc X AO X dp)*, qui 'est la même chose que {tc X O P X ( A O -P D P + AO X dp).

proposition VIL . . *

THEORéHE.'

La surjace convexe <V un cône est égale à la circonférence de sa base multipliée par la moitié de son coté., ' .

Sg. Soit AO le rayon de la base du cône donné , S son

sommet, et SA son côté; je dis que sa surface sera cire. AO X 7 SA. Car soit, s’il est possible, cire. AOx jSA, la surface d'un cône qui aurait pour sommet le point S et pour base le cercle décrit du rayon OB plus grand que AO. . .. -

. Circonscrivez au petit cercle un polygone régulier MNPT, dont les côtés ne rencontrent pas la circonférence qui a pour rayon O B; et soit SMNPT . la pyramide régulière , qui aurait pour base le polygone, et pour sommet le point S. Le triangle SMN,l’un de ceux qui composent la surface convexe de la pyi-amide, a pour mesure sa base MN multipliée par la moitié de la hauteur SA , qui est en même temps le coté du cône donné; cette hauteur étant égale tians tous les autres triangles SNP, SPQ, etc. il s’ensuit que la surface convexe de la pyramide 'est égale au contom- MNPTM multiplié par SA. Mais