LIVRE VIII. a

le contour MNFfM, est plus grand que cire. AO; donc la surface convexe de la pyramide est plus grande que cire. AOx^SA, et par conséquent plus grande que la surface convexe du càne qui avec le même sommet S aurait pour base le cercle décrit xlu rayon OB. Or, au contraire, la surface convexe du cône est plus grande que celle de la pyramide; car si on adosse Ijase à base la pyramide à une pyramide égale, le cône à un cône égal, la surface des deux cônes enveloppera de toutes parts la surface des deux pyramides; donc la première surface sera plus «tcni. a. grande que la seconde *, donc la surface du cône est plus grande que celle de la pyramide qui y est comprise. Le contraire était une suite de notre hypothèse ; donc cette hypothèse ne'peut avoir lieu : donc la circonférence de la base d’un cône multipliée par la moitié de son côté ne petrt mesurer la surface d'un cône plus grand.

Je dis a” que le même produit ne peut mesurer ,1a surface d’un cône plus petit. Car soit BO le rayon de la base du côté donné, et Soit, s'il est possible, cire. BO X ^ SB la surface du cône dont S est le som- • met, et AO, plus petit que OB, le rayon de la base.

Ayant fait la même construction que ci-dessus^ la surface de la pyramide SMNPT sera toujours égale au contour MNPT multiplié par ^SA. Or le contour MNPT est moindre que cire. BO, SA est moindre que SB; donc par cette double raison la surface convexe de la pyramide est moindre que cire.

BO X 7 SB, qui, par hypothèse , est la surface du cône dont AO est le rayon de la base; donc la surface de la pyramide serait plus petite que celle du cône inscrit. Or, au contraire, elle est plus grande; car en adossant base à base la pyramide à une pyramide , égale, le cône à un cône égal, la surface des deux pyramides enveloppera celle des deux cônes, et par • '

s54 GÉbH'ÉThlb.

conséquent sera la plus grande. Donc 2 ° il est impos> ûble que la circonférence de la base d’un cône donné multipliée par la moitié de son côté mesure la surface d’un cône plus petit.

Donc en6n la surface convexe d’un cône ëst égale à la circonférence de sa base multipliée par la moitié de son côté.

SchoUe. Soit L le côté d’un cône, R le rayon de sa base, la circonférence de cette base sera 'air R, et la surface du cône aura pour mesure anRxiL,

. ou irRL’.

THÉOaÈHU.

r.,j ifii. Im surface convexe du tronc de cône ADEB est égale à son côté AD multiplié par la demi-somme des circonférences de ses deux bases AB, DE.

Dans le plan SAB qui passe par l’axe SO , menez perpendiculairement à SA la ligne AP', égale à la circonférence qui a pour rayon AO; joignez SF, et ■ “ menez DH parallèle à AP'.

A cause des triangles semblables SAO , SDC, on aura AO : DC : : SA : SD; et à cause des triangles semblables S AF, SDH, on aura AP': DH :: SA: SD;

* II, i. donc AF : DH : : AO : DC , ou : : cire. AO : cire. DC *.

Mais par construction AP' = cire. AO ; donc DH = cire. DC. Cela posé, le triangle SAF, qui a pour mesure AF X 7 SA , est égal à la surface du cône S.AB qui a pour mesure cire. AO X 7 SA. Par une raison semblable le triangle SDH est égal à la surface du cône SDE. Donc la surface du tronc -ADEB est égale à celle du trapèze ADHP'. Celle-ci a pour

• ;,3. mesure* AD X ; donc la surface du

tronc de cône ADEB est égale à son côté AD mul-

iivaK Vtit.

tiplié par la demi-somme des circonférences de ses deux bases.

Corollaire. Par le point I, milieu de AD, menez IKL parallèle à AB, et IM parallèle à AF; on démontrera comme oi-dessus que IM=c</ic. IK. Mais le trapèze ADHF = AD x IM = AD x cire. IK. Donc on peut dire encore «|ue la surface d’un tronc de cône est égale à son coté multiplié par la circonférence d’une section faite n égale distance des deux bases.

Scholie. Si une ligne AD, située tout entière d’un même côté de la ligne OC et dans le même plan, fait une révolution autour d<: OC, la surface décrite par AD aura pour mesure AD x

— Y y 1 OU AD X cire, 1 K ; les lignes

AO, DC, IK, étant des perpendiculaires abaissées des extrémités et du milieu de la ligne AD sur l’axe OC.

Car si on prolonge AD et OC jusqu’à leur ren- ~ contre mutuelle en S, il est clair que la surface décrite par AD est celle d’un cône tronqué dont OA et DC sont les rayons des bases, le cône entier ayant pour sommet le point S. Donc cette surface aura la mesure mentionnée.

Cette mesure aurait toujours lieu, quand même le point D tomberait en S, ce qui donnerait un cône entier, et aussi quaud la Ligne AD serait parallèle à l’axe, ce qui donnerait un cylindre. Dans le premier cas DC serait nulle, dans le second DC serait égale à AO et à IR.

CBOMBTRIB.

«g. »6ï. Soient AB, BC, CD, plusieurs côtés successifs (Van polygone régulier, O son centre, et OI le rayon du cercle inscrit; si on suppose que la portion de polygone ABCD , située tout entière d’un même côté du diamètre ¥ G, fasse Une révolution autour de ce diamètre, la surface décrite par A BCD dura pour mesure MQ x cire. OI , MQ étant la hauteur de cette surface ou la partie. de l’a.re comprise entre les perpendiculaires *AM,DQ.

Le point I étant milieu de AD, et IK étant une perpendiculaire à l’axe abaissée du point I, la sur- • 8. face décrite par AB aura pour mesure AB x cire. IK*. ' Menez AX parallèle à l’axe, les triangles ABX, OIK,

’ auront les côtés perpendiculaires chacun à chacun , savoir 0l ü AB, IK à AX, et OK à BX; donc ces triangles sont .semblables et donnent la proportion ■ AB:AXouMN;:OI;IK,ou cire. OI : cire. IK; donc AB X cire. IK = MN X cire. OI. D’où l’on voit que la surface décrite par AB est égale à sa hauteur MN multipliée par la circonférence du cercle inscrit. De même la surface décrite par BC, =NP Xcw’c. OI, a surface décrite par CD, =PQxc/Vc. OI. Donc la surface décrite par la portion de polygone ABCD, a pour mesure ( MN -f- NP PQ) X ciVc. OI, ou MQ X cire. OI; donc elle est égale à sa hauteur multipliée par la circonférence du cercle inscrit.

Corollaire. Si le polygone entier est d’un nombre de côtés pair, et que l’axe FG passe par deux som- . mets opposés F et G , la surface entière décrite par hi

Livas viii. u5^

révolution du demi-polygone FACG sera égale à son axe FG multiplié par la circonférence du cercle inscrit. Cet axe FG sera en même temps le diamètre du cercle circonscrit.

La surface de la sphère est égale à son dia~ mètre multiplié par la circonférence d’un grand cercle.

Je dis 1 " que le diamètre d’une sphère, multiplié par la circonférence de son grand cercle, ne peut mesurer la surface d’une sphère plus grande. Car soit, s’il est possible, AB x cire. AC la surface de la sphère qui a pour rayon CD.

Au cercle dont le rayon est CA , circonscrivez un polygone régulier d’un nombre pair de côtés qui ne rencontre pas la circonférence dont CD est le rayon ; soient M et S deux sommets opposés de ce polygone. et autour du diamètre MS faite^ tourner le demi-po. lygone MPS. La siuface décrite par ce polygone aura pour mesure MSxctVc. AC* : mais MS est plus grand que AB ; donc la surface décrite par le polygone est plus grande que AB x cire. AC, et par conséquent plus grande que la surface de la sphère dont le rayon est Cl). Or, au contraire, la surface île la sphère est plus grande que la surface décrite par le polygone, puisque la première enveloppe la seconde de toute^ parts. Donc i<> le diamètre d’une sphère multiplié pa,. la circonférence de son grand cercle ne peut mesurer U surlace d’une sphère plus grande.

Je dis a” que ce même produit ne peut mesurer \fi surface d’une sphère plus petite. Car soit, s’il est

iSS feBOMitaiB. >.

poMÎble, DExc<>c. CD la surface de la sphère qui a pour rayon GA. On fera la même consttuction que dans le premier cas, et la surface du solide engendré par le polygone sera toujours égale à MS x cire. AC. Mais MS est plus petit que DE, et cire. AC plus petite que cire. CD ; dons , par ces deuy raisons , la surface . du solide décrit par le polygone serait plus petite que DE X cire. CD, et par conséquent plus petite que la surface de la sphère dont le rayon est AG. Or, au ' contraire, la surface décrite par le polygone est plus grande que la siu'face de la sphère dont le rayon est AC, puisque la première surface enveloppe la seconde; donc a" le diamètre d’une sphère multiplié par la circonférence de son grand cercle ne petit mesurer la surface d’une sphère plus petite.

Donc la surface de la sphère est égale à son diamètre multiplié par la circonférence de son grand cercle.

Corollaire. La surface du grand cercle se mesure en multipliant sa circonférence par la moitié du rayon ou le quart du diamètre ; donc la sitr/ace de la sphère est quadruple de celle d'un grand cerclé.

Schotie. La surface de la sphère étant ainsi mesurée et comparée à des surfaces planes, il sera facile d’avoir la valeur absolue des fuseaux et triangles sphériques dont on a déterminé ci-dessus le rapport avec la siu> face entière de la sphère.

D'a'oord le fuseau dont Tangle est A, est à la surface de la sphère comme l'angle A est à quatre angles droits*, ou comme l'arc de grand ceiole qui mesure l’angle A est à la circonférence de ce même grand cercle. Mais la surface de la sphère est ^ale à cette circonférence multipliée par le diamètre; donc la surface du fuseau est égale à l'arc qui mesure l’angle de ce fuseau multiplié par le diamètre.

LIV HB Vill. aS9

Ên second lieu tout triangle sphérique est équivalent à un fuseau dont l'angle est égal à la moitié de l'excès de la soiiinie de ses trois angles sur deux angles droits *. Soient donc P , Q , R , les arcs de ‘ 7

grand cercle qui mesurent les trois angles du triangle ; soit C la circonférence d’un grand cercle et D son diamètre ; le triangle sphérique sera équivalent au fuseau dont l’angle a pour mesure

et par conséquent sa surface sera

Ainsi, dans le cas du triangle tri-rectongle, chacun des arcs P, Q, R, est égal à ^C, leur somme est-jC, l’excès de cette somme sur -j-C est jC, et la moitié de cet excès C ; donc la surface du triangle tri-recungle =^Cxü, ce qui est la huitième partie de la surface totale de la sphère.

La mesure des polygones sphériques suit immédia- • tement celle des triangles , et d’ailleurs elle est entièrement déterminée par la prop. xxiv, liv. vu, puisque l’unité de mesure, qui est le triangle trirecungle , vient d’être évaluée en surface plane.

THBOaÈMB.

La surfact d'une zone sphérique quelconque est égale à la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle.

Soit EF un arc quelconque plus petit ou plus grand 6g. 369. que le quart de circonférence , et soit abaissée FG perpendiculaire sur le rayon ECj je dis que la lont à une

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base , décrite par la révolutioti de l^arc EF autour de EC, aura pour mesure EG X cire. EC. r? -y ' Car supposons d’abord que cette zone ait une mesure plus petite, et soit, s’il est possible, cette mesure i:=EG X cire. CA. Inscrivez dans l’arc EF une portion de polygone régulier EMNOPF dont les côtés n’atteignent pas la circonférence décrite du rayon CA, et abaissez CI perpendiculaire sur EM ; la surface décrite par le polygone EMF tournant autour de EC, aura pour mesure EGxc/Vc. CI*. Cette quantité est plus grande que EG x cire. AC , qui, par hypothèse , est la mesure de la zone décrite par l’arc EF. Donc la surface décrite par le polygone EMNOPF serait plus grande que la surface décrite par l’arc circonscrit EF j or, au contraire, cette dernière surface est plus grande que la première , puisqu’elle l’enveloppe de toutes parts; donc i° la mesure de toute zone sphérique à une base ne peut être plus petite que la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d’un grand cercle.

Je dis en second lieu que la mesure de la même - zone ne peut être plus grande que la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d’un grand cercle. Car supposons qu’il s’agisse de la zone décrite par l’arc AB autour de AC , et soit , s’il est possible, zone AB> AD X cire. AC. La surface entière de la sphère , composée des deux zones AB, BH, a pour mesure AH X cire. AC * , ou AD x cire. AC ■+■ DH x cire. AC ; si donc on a zone AB > AD x cire. AC , il faudra ^ qu’on ait zone BH < DH X cire. AC ; ce qui est contraire à la première partie déjà démontrée. Donca" la mesure d’une zone sphérique à une base ne peut être plus grande que la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d’un grand cercle.

Donc enfin toute zone sphérique à une base a pour