LIVRE VIII

• mesure la hauteur «le cette zone multipliée par la circonférence d’un grand cercle.

'Considérons maintenant une zone quelconque, à deux bases, décrite par la révolution de l’arc FH . autour du diamètre DE, et soient' abaissées les perpendiculaires FO, HQ sur ce diamètre. La zone décrite par l’arc FH est la différence «les «leux zones dé. tg. aïo. crites par les arcs DH et DF ; celles-ci ont pour • mesures DQ xc/rc. CD et DOxciVc. CD; donc la zone décrite par FH a pour mesure (DQ — DO)x cire. CD ou OQxcirc. CD. -,

Donc toute zone sphérique à une ou à deux baseg ,

■ a pour mesure la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d’un grand cercle. ,

Corollaire. Deux zones prises dans une même sphère ou dans des sphères égales, sont entre elles comme leurs hauteurs, et une zone quelconque est à la surfara de la sphère comme la hauteur de cette . zone est au «llamètre.

Si le triangle BAC et le rectangle BCE F de Sg.

• meme hase et de même hauteur tournent sirnul- ** tanément autour de la hase commune BC , le solide décrit par la révolution du triangle sera le tiers du <ylindre décrit par la révolution du rectangle.

Abaissez sur l’axe la perpeiiidicalaire AD; le cône fig. >64, décrit par le triangle ADD est le tiers du cylindre dé. « crit par le rectangle AFBD*, de même le cône décrit * *•.

fig.»6S.

Cf. 166.

a6'a ' ei^OMÉTiiiB.

par le triangle ADC est le tiers du cylindre décrit pat le rectangle A DCE ; donc la somme des deux cônes ou ]e solide décrit par ABC est le tiers de la somme des deux cylindres ou du cylindre décrit par le rectangle ncEF. '

Si la perpendiculaire AD tombe au -dehors du triangle , alors le solide décrit par ABC sera la différence des cônes décrits par ABD et ACD; mais en même temps le cylindre décrit par BCEF sera la différence des cylindres décrits par AFBD, AECD.. ' Donc le solide décrit par la rérolution du triangle sera (oujouts le tiers du cylindre décrit par la rérolution du rectangle de même base et de même hauteur.

Scholie. Le cercle dont AD est le rayon a pour

surface X AD : donc ic X AD x BC est la mesure du

cylindre décrit par BCEF, et ^sex ADxBG est celle du solide décrit par le triangle ABC.

PROPOSITION XllI.

FBOBuàltB.

Le triangle CAB étant supposé faire une révolution autour de la ligne CD , menée comme on voudra hors du triangle par son sommet trouver la mesure du solide ainsi engendré.

Prolongez le côté AB jusqu’à ce qu’il rencontre l’axe CD en D, des points A et B abaissez sur l’axe les perpendiculaires AM, BN.

Le solide tlécrit par le triangle CAD a pour nie-

sure* -jir X AM X CD le solide décrit par le triangle CBD a pour mesure firxBN’xCD; donc la dilTé-

LIVKE T III. î63

r«nce de ces solides ou le solide décrit par ABC aura ' ' / pour mesure ÿir. (am

' On peut donner à cette expression une autre forme.

Du point I , milieu de AB, menez IK perpendiculaire ■ • à CD, et par le point B menez BO parallèle à CD, on aura AM 4 -BN = 2lK* et AM — BN=AO; donc \ 7 **;

(AM + BN)X(AM— BN), ouÂM — BN = aIK.X AO*. La mesure du solide dont il s’agit est donc *10.5.'exprimëe aussi par X IKx AO X CD. Mais si on abaisse CP perpendiculaire sur AB, les triangles ABO,

DCP, seront semblables, et donneront la proportion 'AO : CP :: AB : CD; d’où résulte AOxCD = CPx AB ; d’ailleurs CP X AB est le double de l’aire du triangle ABC; ainsi on a AO X CD == a ABC ; donc le solide décrit par le triangle ABC a aussi pour me- . , '

sure jtr X ABC X IK, ou, çe qui est la même chose> ABCX|circ. IK ; (car cire, IK = ait. IK. ) Donc le solide décrit par la révolution du triangle ABC, a . pour mesure Paire de ce triangle multipliée peur les deux tiers de la circonférence que décrit le poinr^ milieu de sa base. . " ' •

Corollaire. Si le côté AC = CB, la ligne CI sera Sg.aS;. ' perpendiculaire à AB, l’aire ABC sera égale à ABx jCI, et la solidité X ABC X IK deriendra x AB X IK X CI. Mais les triangles ABO, CIK, son semblables et donnent la proportion AB : BO ou MN :: CI : IK ; donc AB X IK = MJV X CI ; donc le solide décrit par le triangle isoscèle ABC aura pour

mesure |it X MN X CI.

Scholie. La solution générale parait supposer que la ligne AB prolongée rencontre l’axe ; mais les résultats n’en seraient pas moins yrais , quand la ligne AB serait parallèle à l’axe.

Digilizêd by Googk

364 géomMtbib. ^

((.'«fit. En effet, le cylindre décrit par AMNB a pour me*

> «ure ir. AM. MN, le cône décrit par ACM=-j«. AM

CM, et le cône décrit par BCN = ^ir. AM.CN. Ajouant les deux premiers solides et retranchant le ' troisième , on aura pour le solide décrit par ABC , ^

ir.ÂM’.{MN + iCM— iCN) : et puisque CN— CM / n:M^ , cette expression se réduit à tr. AM.-|MN, ou

^ |ir . CP. MN , ce qui s’accorde avec les résultats déjà

trouvés. • ' '

((.ses. Soient AB, BC, CD, plusieurs côtés successifs d'un polygone régulier, O son centre, et OI le rayon du cercle inscrit; si on imagine que le secteur polygonal AOD, situe d'un même côté du diainètre FG, fasse une révolution autour de ce diamètre, le solide décrit aura pour mesure ; . ■ étant la portion de V axe termi-'

née par les perpendiculaires extrêmes AM, DQ. 'T En effet, puisque le polygone est régulier, tous les triangles AOB, BOC, etc. sont égaux et isoscèles. • ,• .

^ Or , suivant le corollaire de la proposition précé- dente, le solide produit par le triangle isoscèle AOB a pour mesure . Ol.MN, le solide décrit par le

triangle BOC a pour mesure |tc.OI.NP, et le solide décrit par le triangle COD a pour mesure |7t<01.*

PQ ; donc la somme de ces solides , on le solide entier décrit par le secteur polygonal AOO, aura pour mesure i TT. OI. (MN -U NP + PQ) ou i tToI . MQ.

IIVBB Tltt.

Tout secteur sphérique a pour mesure la zone ' ■

- qui lui sert de base multipliée par le tiers du. . i • rayon , et la sphere entière a pour mesure sa ' -

^ surjace multipliée par le tiers du rayon. ^ -

Soit ABC le secteur circulaire qui , par sa rëvo- *g- *69. lution autour de AG, décrit le secteur sphérique; la . ' zone décrite par AB étant ADXci/r. AC ou ait. AC. .

AD * , je dis que le secteur sphérique aura pour me- * i»sure cette zone multipliée par jAC, ou AC. AD. - En eiTet, 1° supposons, s’il est possible, que celte

quantité -jir . AC . AD soit la mesure d’un secteur sphérique plus grand, par exemple, du secteur sphérique décrit par le secteur circulaire ECF semblable à ACB. ■ ‘

' InscriTez dans l’arc EF la portion de poljgone f •

régulier EMNF dont les côtés ne rencontrent pas l’arc AB, imaginez ensuite que le secteur polygonal ENFG tourne autour ^de EC en même temps que le secteur circulaire ECF. Soit Cl le rayon du cercle ’

inscrit dans le polygone, et soit abaissée FG perpen- - diculalre sur EG. Le solide décrit par le secteur

polygonal aura pour mesure }ir. CI. EG* ; or Cl

est plus grand que AC par construction, et EG est

plus grand que AD ; car , joignant AB, EF, lei irian- , " .

gles.EFG, ABD, qui sont semblables, donnent la ' ■ .

proportion EG ; AD : : FG : BD CF : CB ; donc EG

>AÜ.

Par cette doublé raison CI. EG est plus

a6d eidMiTatf.

grand que \ tz . CA. AD : la première expression est la mesure du solide décrit par le .secteur polygonal, la seconde esc par hypothèse celle du secteur sphérique décrit par le secteur circulaire ECF ; donc le solide décrit par le secteur polygonal serait plus grand que le secteur sphérique décrit par le secteur circulaire. Or, au contraire, le solide dont il s’agit est moindre que le secteur sphérique, puisqu’il y est contenu; donc l’hypothèse d’où on est parti ne saurait subsister; donc i° la zone ou base d’un secteur sphérique multipliée par le tiers du rayon ne peut mesurer un secteur sphérique plus grand.

Je dis a" que le même produit ne peut mesurer im secteur sphérique plus petit. Car, soit CEF le secteur circulaire qui par sa révolution produit le secteur .sphérique donné, et supposons, s’il est possible, que

fir.CE. EG soit la mesure d’un secteur sphérique plus petit, par exemple, de celui qui provient du secteur circulaire ACB.

La construction précédente restant la même , le solide décrit par le secteur polygonal aura toujours

pour mesure fit. CI. EG. Mais CI est moindre que

CE; donc le solide est moindre quefir. CE. EG, qui, par hypothèse, est la mesure'du secteur sphérique décrit p.ir le secteur circulaire ACB. Donc le solide décrit par le secteur polygonal serait moindre que le secteur sphérique décrit par ACB. Or, au contraire, le solide dont il s’agit est plus grand que le secteur sphérique, puisque celui-ci est contenu dans l'autre. Donc a” il est impossible que la zone d’un secteur sphérique multipliée par le tiers du rayon soit la mesure d’un secteur sphérique plus petit.

Donc tout secteur sphérique à pour mesure la zone qui lui sert de base multipliée par le tiers du rayon.

. Digi;i,

Goo^lr

tlTKS Vllt. 367

Un secteur circulaire ACB peut augmenter jusqu’à devenir égal au demi-cercle; alors le secteur sphérique décrit par sa révolution est la sphère entière. Donc la solidité de la sphère est égale a sa surface multipliée parle tiers de son rayon.

Corollaire. Les surfaces des sphères étant contme les quarrés de leurs rayons , ces surfaces multipliées par les rayons sont comme les cubes des rayons. Donc tes solidités des deux spheres sont comme les ■cubes de leurs rayons,' ou comme les cubes de leurs diamètres.

Scholie. Soit R le rayon d'une sphère , sa surface sera 4 R’, et sa solidité 4 R ’ X| R, ou 7 T RL Si on appelle D le diamètre, on aura Rrrz-jD, et R’=7D’; donc la solidité s’exprimera aussi par 7 TC X 7 D’, ou 7 1T D*. ^ i. !.

TnEORBME.

La surface de la sphère est à la surface totale du cylindre circonscrit ( en y comprenant ses bases) comme a esta 3. Les solidités de ces deux >, ' corps sont entre elles dans le même rapport.

Soit MPNQ le grand cercle de la sphère, ABCD 6g. *7» le quarre circonscrit; si on fait tourner à la fois le demi-cercle PMQ et le demi-qiiarré PADQ autour du diamètre PQ , le demi-cercle décrira la sphère, et le demi-quarré décrira le cylindre circonscrit à la sphère.

La hauteur AD de ce cylindre est égale au dia. mètre PQ, la hase «lu cylindre est égale au grand cercle, puisqu’elle a pour diainètie AB égale à Mi\ ; donc la .surface convexe du cylindre* est égale à la

Dig‘'ii”-j : Guugk

a68 CÉOMÉTSIB.

circonfërence du grand cercle multipliée par son diamètre. Cette mesure est la même que celle de la surface de la sphère* : d’où il suit que la surface de la sphère est égale h la surface convexe du cylindre circonscrit.

Mais la surface de la sphère est égale à quatre grands cercles ; donc la surface convexe du cylindre circonscrit est égale aussi à quatre grands cercles : si on y joint les deux bases qui valent deux grands cercles» la surface totale du cylindre circonscrit sera égale à six grands cercles; donc la surface de la sphère est à la surface totale du cylindre circonscrit comme 4 est à 6 , ou comme 2 est à 3. C’est le premier point qu’il s’agissait de démontrer.

En second lieu , puisque la base du cylindre circonscrit est égale k un grand cercle et sa hauteur au diamètre, la solidité du cylindre sera égale au grand cercle multiplié par le diamètre *. Mais la solidité de la sphère est égale à quatre grands cercles multipliés par le tiers du rayon * , ce qui revient à un grand cercle multiplié par | du rayon, ou ÿ du diamètre; donc la sphère est au cylindre circonscrit comme a est à 3, et par conséquent les solidités de ces deux corps sont entre elles comme leurs surfaces.

Schalie. Si on imagine un polyèdre dont toutes les faces touchent la sphère, ce polyèdre pourra être considéré comme composé de pyramides qui ont toutes pour sommet le centre de la sphère , et dont les hases sont les différentes faces du polyèdre. Or il est clair que toutes ces pyramides auront pour hauteur commune le rayon de la sphère, de sorte que chaque pyramide sera égale à la face du polyèdre qui lui sert de base, multipliée par le tiers du rayon : donc le polyèdre entier sera égal à sa gurface multipliée par le tiers du rayon de la sphère inscrite, ». r - '•'•rf-.'- --