LIVRE I

THÉORÈME

Si deux angles adjacents ACD , DCB , valent *g- «»■ ensemble deux angles droits, les deux côtés extérieurs AC, CB, seront en ligne droite. •

Car si CB n’est pas le prolongement de AC, soit CE ce prolongement; alors la ligne ACE étant droite, la somme des angles ACD, DCE, sera égale à deux ' droits*. Mais, par hypothèse, la somme des angles 'pr. ACD, DCB, est aussi égale à deux droits; donc ACD + DCB serait égale à ACD + DCE ; retranchant de part et d’autre l’angle ACD , il resterait la partie DCB égale au tout DCE, ce qui est impossible; donc CB est le prolongement de AC.

THéORê» B.

Toutes les fois que deux lignes droites AB,

DE , se coupent , les angles opposés au sommet sont égaux.

Car puisque la ligne DE est droite , la somme des angles ACD , ACE , est égale à deux droits ; et puisque la ligne AB est droite , la somme des angles ACE,

BCE, est égale aussi à deux droits; donc la somme '

AGI) -4- ACE est égale à la somme ACE BCE. Retranchant de part et d'autre le même angle ACË, il . restera l’angle ACD égal à son opposé BCE.

On démontrerait de même que l’angle ACE est égal à son opposé BCD.

Scholie. Les quatre angles formés autour d’un point par deux droites qui se coupent, valent ensemble

lo GBUMÉTHIE.

quatre angles droits; car les angles ACE, BCE, pris , ensemble, valent deux angles droits, et les deux autres ACD, BCD, ont la même valeur, fis. 19. En général, si tant de droites qu’on voudra CA, CB, etc., se rencontrent en un point C, la somme de tous les angles consécutifs ACB, BCD, DCE, ECF, FCA, sera égale à quatre angles droits: car si on formait au point C quatre angles droits au moyen de deux lignes perpendiculaires entre elles , le même espace serait rempli , soit par les quatre angles droits , soit par les angles successifs ACB , BCD, etc.

' THBoaêiiB.

Deux triangles sont égaux, lorsqu’ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun.

fig. >3. Soit l’angle A égal à l'angle D, le côté AB égal à DE, le côté AC égal à DF ; je dis que les triangles ABC , DEF , seront égaux.

En effet, ces triangles peuvent être posés l’un sur l'autre de manière qu’ils coïncident parfaitement. Et d’alrord si on place le côté DE sur son égal AB, le point D tomber.-) en A et le point E en B : mais puisque l'angle D est égal à l’angle A, dès que le côté DE sera placé sur AB, le côté DF prendra la direction AC. De plus DF est égal à AC; donc le point F tombera en C, et le troisième côté EB' couvrira exactement le troisième côté BC; donc le triangle DEF *•». fi. est égal au triangle ABC*.

Corollaire. De ce que trois choses sont égales dans deux triangles, savoir, l’angle A nr: D, le côté AB = DE, et le côté AC = DF, on peut conclure que les

LIVRB 1.

tj

trois autres le sont, savoir, l'angle B ^ E, l’angle G =r F , et le côté BC =r EF.

Deux triangles sont égaux , lorsqu'ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun.

Soit le côté lî(i égal au côté EF, l'angle B égal a 6g. *3. l’angle E, et l'angle (] égal à l’angle F; je dis que le triangle DEF sera égal au triangle ARC.

Car, pour opérer la siiper|jositiou , soit placé EF sur son égal BC, le point E tombera en B,, et le point F en Ç. Puisque l’angle E est égal k l'angle B , le côté ED prendra la direction BÂ ; ainsi le point D se trouvera sur quelque point de la ligne BA. De même, puisque l’angle F est égal à l’angle C , la ligne FD prendra la direction CA, et le point D se trouvera sur quelque point du côté C.A; donc le point D qui doit se trouver a la fois sur les deux lignes BA, CA, tombera sur leur intersection A ; donc les deux triangles ABC, DEF, coïncident l’un avec l’autre, et sont . .

parfaitement égaux.

Corollaire. De ce que trois choses sont égales dans deux triangles, savoir, BC=iEF, B = E, C = F, on peut conclure que les trois autres le sont, savoir,