AJ1 = DE, AC=DF, A=D

THBORÈMB.

Dans tout triangle un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres.

Car la ligne droite BC, par exemple, est le plus 6g. si.

la GÉOMBTBII.

*W. 3. court chemin de B en C* , donc BC est plus petit que AB + AC.

^ TRBORéME.

6g. 94 . Si d’un point O pris au - dedans du triangle ABC, on mène aux extrémités d’un cdté BC les droites OB , OC, la somme de ces droites sera moindre que celle des deux autres côtés AB , AC.

Soit prolongé BO jusqu’à la rencontre du côté AC en D ; la ligne droite OC est plus courte que OD -+■ •pr. 8. DC* : ajoutant de part et d’autre BO , on aura BO -|- OC < BO- 4 -OD + DC, ou BO+OC < BD-J-DC.

On a pareillement BD < BA-t-AD ; ajoutant de part et d’autre DC , on aura BD-I-DC < BA-f- AC. Mais on rient de trouver BO-I-OC < BD-f-DC ;donc à plus forte raison , BO-f-OC < BA -J- AC.

THÉoaêME.

Bg. *5. Si les deux côtés AB , AC , du triangle ABC sont égaux aux deux côtés DE , DF , du triangle DEF , chacun à chacun ; si en même temps l’angle BAC , compris par les premiers , est plus grand que l'angle EDF, compris par les seconds; je dis que le troisième côté BC du premier triangle . sera plus grand que le troisième EF du second.

Faites l'angle CAG=D, prenez AG = DE, et joignez CG , le triangle GAC sera égal au triangle DEF, puisqu’ils ont par construction un angle égal *pr. 6. compris entre côtés égaux* ; on aura donc CG=EF. Maintenant il peut y avoir trois cas, selon que le point

LlVHfi (. lit

(i tombe hors du triangle ABC, ou sur le côté BC; ou an-dedans du même triangle.

Premier cas. La ligne droite 6C est plus courte fig.sS. que G1 -f- IG , la ligne droite AB est plus courte que AI-f-lB; donc GG 4- AB est plus petit que GI 4 -AI 4 - IG+ IB, ou, ce qui est la même chose, GG-+- AB < AG -f- BG . Retranchant d'un côté AB et de l'autre son égale AG , il restera GG < BG : or GG =r EF ; donc on aura EF < BG. •

Second cas. Si le point G tombe sur le côté BG , ü fig. afl. est évident que GG ou son égale EF sera plus petit * *

que BG.

Troisième cor. En&n si le point G tombe au-dedans fig. * 7 . du triangle ABG, on aura, suivant le théorème pré- . .

cèdent, AG-H GG <AB4-BG. Retranchant d’une part AG, et de l’autre son égale AB, il restera GG < BG, ou EF<BG.

Scholie. Réciproquement, si les deux côtés AB, AG, du triangle ABG sont égaux aux deux côtés DE, DF, du triangle DEF ; si, de plus, le troisième côté GB du premier triangle est plus grand que le troisième EF . ^

du second , je dis que l’angle BAG du premier triangle ' sera plus grand que l'angle EDF du second.

Gar si on nie cette proposition , il faudra que l’angle ' .

BAG soit égal à EDF, ou qu’il soit plus petit queEDF: dans le premier cas , le côté GB serait égal à EF* ; dans * pr. 6. le second , GB serait plus petit que EF ; or l’un et l’autre est contraire à la supposition ; donc l’angle BAG est plus grand que EDF. ,

THÉOaÊMB.

Deux triangles sont égaux , lorsqu’ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun.

t4 GfeOHÜTâlB.

. » 3 , SoH 1« côté AB=DE, AC=DF, BC=EF, je dis - <|ii’on aura l’angle A=D, B=E, C=:F.

, Car si l’angle A était plus grand que l'angle D,

. comme les côtés AB, AC, sont égaux aux côtés DE, DF, chacun à chacun , il s'ensuivrait, par le théorème précédent, que le côté BG est plus grand que EF ; et si l’angle A était plus petit que l’angle D, il s'ensuivrait que le côté BC est plus petit que EF ; or , BC est égal à EF'; donc l'angle A ne peut être ni plus • ' grand ni plus petit que l’angle D ; donc il lui est égal.

«On prouvera de même que l'angle B=E, et que l'angle G = F.

Scholicx On peut remarquer que les angles égaux sont opposés à des côtés égaux : ainsi les angles égaux . A et D sont opposés aux côtés égaux BC, EF.

TBÉOHRHE.

Dans un triangle isoscèle , les angles opposés ' aux côtés égaux sont égaux.

. aS. Soit le côté AB=rAC, je dis qu’on aura l’angle C=fB.

Tirez la ligne AD du sommet A au point D, milieu delà base BC, les deux triangles ABD, ADC, auront les trois côtés égaux chacun à chacun ; savoir AD commun, AB=AC par hypothèse, et BD = ÜC par construction; donc, en vertu du théorème précédent, Tangle B est égal à l’angle G.

Corollaire. Un triangle équilatéral est en même temps équiangle , c’est-à-dire, qu'il a ses angles égaux.

Scholie. L’égalité des triangles ABD, ACD, prouve en même, temps que l’angle BAD = DAC, et que l'angle BDA — AIX’.; donc ces deux derniers sont

Liv tm 1.

iô

(IroiU; donc la ligne menée du sommet d'un triangle isosceie au milieu de sa base, est perpendiculaire a • cette base, et divise l'angle du sommet en deux parties ^

• égales.

Dans un triangle non isoscèle on prend indifférein-. ^ nient pour base un côté quelconque, et alors son sommet est celui de l’angle opposé. Dans le triangle . . ' isoscèle on prend particulièrement pour base le côté qui n'est point égal à l’un des deux autres.

THéOBBMB.

Réciproquement, si deux angles sont égaux dam un triangle , les côtés opposés seront égaux , et le triangle sera isoscèle.

Soit l'angle ABC = ACB, je dis que le côté AQ sera cg. égal au côté AB.

Car si ces côtés ne sont pas égaux , soit .\B le plus grand des deux. Prenex BD = AG, et joignez DC.

L’angle DBG est, par hypothèse, égal à AGB; les .

deux côtés OB, BG sont égaux aux deux AG, G8; donc le triangle DBG * serait égal au triangle AGB. *|>i-, ft, Mais la partie ne peut pas être égale au tout; donc il n’y a point d inégalité entre les côtés AB , AG ; doné. le triangle ABG est isoscèle.

THBOHBMB. ,

. Be deux côtés d’un triangle , celui-là est le . % plus grand qui est opposé à un plus grand angle , et réciproquement, de deux cmgles d'un

iti GÉOMÉTaiB.

triangle, celui-là est le plus grand qui est opposé à un plus grand côté.

fig. 3o. Soit l’angle C > B , je dis que le côté AB opposé • à l’angle C est plus grand que le côté AC oppose à l'angle B.

Soit fait l’angle BCD = B ; dans le triangle BDC *!»• on aura * BD=DC. Mais la ligne droite AC est plus courte que AJ) DC, et AD + DC =r AD -i- DB = AB; donc AB est plus grand que AC. . '

‘ ' a" Soit le côté AB > AC , je dis que l’angle C opposé

au côté AB sera plus grand que l’angle B opposé au côté AC. '

Car si on avait C<B, il s’ensuivrait, par ce qui vient d’étre démontré, AB < AC, ce qui est contre la •lic.iî. supposition. Si on avait C = B, il s’ensuivrait * AB = AC, ce qui est encore contre la supposition ; donc il faut que l’angle C soit plus grand que B.

, ' . ■ ^ TBÉORÊIIE.

- Sf. 3i. ü'un point k donné hors dé une, droite DE , on

ne peut mener qu'une seule perpendiculaire à ' cette droite.

Car supposons qu'on puisse en mener deux AB et AC; prolongeons l’une d’elles AB d’une quantité BF = AB, et joignons FC.

• . ^ Le triangle CBF est égal au triangle ABC : car

l'angle CBF est droit ainsi que CBA, le côté CB est commun, et le côté BF=AB; donc ces triangles ’pr. sont égaux *, et il s’ensuit que l’angle BCF =: BCA. L’angle BCA est droit par liypothèse; donc l’angle BCF l’est aussi. Mais si les angles adjacents BCA, BCF, valent ensemble deux angles droits, il faut que la bgne

Li va c I. 17

ACi*' Mit droite*; d'où il résulte qu’entre les deux * pr. 4. mAmes points A et F , on pourrait mener deux lignes droites ABF , AGF ; ce qui est impossible * ; donc il * ax. 4. est pareillement impossible que deux perpendiculaires soient menées d’un même point sur la même ligne droite.

SchoUe. Par un même point G donné sur la ligne AB , il est également impossible de mener deux perpendiculaires à cette ligne : car si CD et CE étaient cea deux perpendiculaires , l’angle DCB serait droit ainsi ^ * *

que BCE, et la partie serait égale au tout.

TBKOaillB.

Si (f un point A situé hors d’une droite DE on î'mène la perpendiculaire AB sur cette droite , et différentes obliques AE, AC AD, e/c. , à dijfé' rents points de cette meme droite :

1“ La perpendiculaire AB sera plus courte que toute oblique.

a® Les deux obliques AC, AE, menées de part et tï autre de la perpendiculaire à des distances égales BC, BE , seront égales.

3 “ De deux obliques AC et AD, ou AE et AD, menées comme on voudra, celle qui s’écarte le plus de la perpendiculaire sera la plus longue.

Prolongez la perpendiculaire AB d’une quantité BF = AB, et joignez FC, FD.

1* Le triangle BCF est égal au triangle BCA, car l’angle droit CBF = GBA, le côté CB est commun , et le côté BF = BA; dont * le troisième côté CF est égal * P'-*'’

'[ir. 6.

'pr- 9-

Cf. 3a.

t8 CéOHBTHlB.

au troisième AG. Or, ABF ligne droite est plus courte que ACF ligne briséej donc AB moitié de ABF est plus courte que AC moitié de ACF ; donc i°, la peN pendiculaire est plus courte que toute oblique. r.

a" Si on suppose BË=BC, comme on a en outre AB . commun et l’angle ABE= ABC , il s’ensuit que le triangle ABE est égal au triangle ABC* ; donc les côtés AE, AC sont égaux; donc 3°, deux obliques qui s’écai^ tent également de la perpendiculaire sont égales. ^

3” Dans le triangle DFA la somme des lignes AG, CF , est plus petite* que la somme des côtés AD, DF; donc AG, moitié de la ligne AGF, est plus courte que AD moitié de ADF ; donc 3°, les obliques qui s’écartent le plus de la perpendiculaire sont les plus longues.

Corollaire 1. La perpendiculaire mesure la vraie distance d'un point à une ligne, puisqu’elle est plus courte que toute oblique.'

11. D'un même point on ne peut mener à une même ligne trois droites égaies : car si cela était, il y aurait d'un même côté de la perpendiculaire deu^ obliques égales, ce qui est impossible.

THBOBâMB.

Si par le point C, milieu de la droite AB, on élève la perpendiculaire EF sur cette droite; I* chaque point de la perpendiculaire sera également distant des deux extrémités de la ligne AB; a° tout point situé hors de la perpendiculaire sera inégalement distant des mêmes extrémités et B.

Car, i" puisqu'on suppose AC=CB, les deux obli-

tlVtlB 1.

(|ues AD, DB, s’écartent également de la perpendiculaire ; donc elles sont égales. Il en est de même des deux obliques AE, EB, des deux AF, FB , etc. ; donc 1 °, tout point de la perpendiculaire est également distant des extrémités A et B.

a" Soit I un point hors de la perpendiculaire ; si on joint IA, IB, l’une de ces lignes coupera la perpendiculaire en I), d’oii tirant DB, on aura DB — DA.

Mais la ligne droite IB est plus petite que la ligne brisée ip-<-DB, et ID-^DB=1D4-DA=IA; donc IB<IA; donc a", tout point hors de la perpendiculaire est inégalement distant des extrémités A et B.

PROPOSITION xvm.

TBÉORÈMB.

Deux triangles rectangles sont ègtstix lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un côté égal.

Soit l’hypoténuse AC=DF, et le cûté AB=DE, je fig. 33. dis que le triangle rectangle ABC sera égal au triangle rectangle DEF. '

L’égalité serait manifeste si' le troisième côté BG était égal au troisième EF : supposons , s'il est possible, que ces' côtés ne soient pas égaux, et que BG soit le plus grand. Prenez BG=Ei'\ et joigne-z AG,

Le triangle AB6 est égal au triangle DEF ; car l’angle droit B est égal à l’angle droit E, le côté AB=DE , et le côté BG=EF ; donc ces deux triangles sont égaux* * pr. lî. et on a par conséquent AG “DF; mais, par hypothèse, DF=AC; donc .■VGrzrAC. Mais rol)liquc AG ne peut être égale à .AG*, puisqu’elle est plus éloignée «pr.io de la perpendiculaire AB; donc il est iiiipossible que

BC diffère de EF ; donc le triangle ABC est égal au triangle DEF.

PROPO.SITION XIX.

THÉORÈME

Dans tout triangle^ la somme des trois angles est égale a deux angles droits.

Soit ABC le triangle proposé dans lequel nous* supposerons (i) que AB e.st le plus grand côté et BC le plus petit , et qu'ainsi ACB est le plus grand angle, i>r. i4. et BAC le plus petit. *

Par le point A et par le point I milieu du côté opposé BC , menez la droite AI que vous prolongerez en C' jusqu'à ce que AC'=AB} prolongez de même AB en B' jusqu'à ce que AB' suit double de AI.

Si on désigne par A, B , C, les trois angles du triangle ABC etsemblablemeiit par A', B', C' les trois angles du triangle AB'C', je dis qu’on aura l’angle C'=B+C, et l’angle A=A'-hB’, d’où résulte A-t-B4-C=A'-t-B' q-C’, c'est-à-dire que la somme des trois angles est la même dans les deux triangles.

Pour le prouver, faites AK = AI et joignez C’K ^ vous aurez le triangle C’AK égal au triangle BAI. Car dans ces deux triangles, l'angle commun A est compris entre côtés égaux chacun à chacun , savoir : AC, =AB,et AK=:AI. Donc le troisième côté C'K est égal au troisième BI ; donc aussi l’angle AC'K= ABC , et l’angle AKC=:AIB.

Je dis maintenant que le triangle B'C’K est égal au triangle AGI , car la somme des deux angles adjacens pr. 1 , AK.C’-{-C’KB' est égale à deux angles droits* ainsi que

(t) Cette tapposition n’exclat pu le caioù le côté moyen AC sertit égal à l'un des extrêmes AB ou BC.

LiTaB I, ai

la somme des deux angles AIC+AIB; retranébant de part et d'autre les angles égaux AKC' , AIB, il restera l’angle C'KB'= AIC. Ces angles égaux dans les deux triangles sont compris entre côtés égaux chacun à chacun, savoir C'K=lB = CI, et KB'=AK=AI, puisqu’on a supposé AB'= aAIc= aAK. Donc les deux triangles B'C'K , AGI , sont égaux*; donc le côté C*B' =AC, l’angle B'C'K=ACB, et l’angle KB'C'=CAI.

Il suit de là que l’angle AC'B' désigné par C' est composé de deux angles égaux aux angles fi et C du triangle ABC, et qu’ainsi on aC'=B-f-C; a*' que l’angle A du triangle ABC est composé de l’angle A' ou G'AB' qui appartient au triangle AB'C' et de l’angle CAI égal à l’angle B' du même triangle, ce qui donne A = A'+B'; donc A + B + C = A’4-B'-»-C'. D’ailleurs puisqu’on a par hypothèse AC < AB et par conséquent C'B' < AC', on voit que dans le triangle AC'B l’angle en A, désigné par A', est moindre que B', et comme la somme des deux est égale à l’angle A du triangle proposé, il s’ensuit qu’on a l'angle A'

Si on applique la même construction au triangle AB'C', pour former un troisième triangle AC'B' dont les angles seront désignés par A" , B", C* , on aura semblablement les deux égalités C' = C'-+-B’. A'= A'-l- B' , d’où résulte A'-^-B'^-C'=A’'-^B'-^-C', Ainsi la somme des trois angles est la même dans ceg trois triangles: on aura en même tems l’angle A* < -jA', et par conséquent A' <^A.

Continuant indéfiniment la suite des triangles AC'B', AC'B', etc. on parviendra à un triangle abc dans lequel la somme des trois angles sera toujours la même que dans le triangle proposé ABC et qui aura l’angle a plus petit que tel terme qu’on voudra de la progression décroissante -îA , jA , jA , etc.

On peut donc supposer cette suite de triangles

Ui ■

GÉOM BTR IB.

prolongée jusqu'à ce que l'angle a soit moimire que tom angle donné.

Et si au moyen du triangle abc on construit le triangle suivant a' b’ c' , la somme des angles a'-^b' de celui-ci sera égale à l’angle a, et sera par conséquent moindre que tout angle donné j d'où l'on voit que la somme des trois angles du triangle a'b'c' se réduit presque au seul angle c'.

Pour avoir la mesure précise de cette somme , prolongeons le côté rt'c' vers d\ et appelons .r' l’angle extérieur b'c'd'\ cet angle a;', joint à l'angle c' du triangle a'b'c' , fait une somme égale à deux angles droits*^ ainsi en désignant l’angle droit par D, on aura c'=aD — x'; donc la somme des angles du triangle a'c'b’ sera

' aD-|-a'-|-^' — ar'.

, Mais on peut concevoir que le triangle a'c'b' varie dans ses angles et ses côtés, de manière à représenter les triangles successifs qui naissent ultérieurement de la même construction et s’approchent de plus en pius.de la limite où lesanglesa' et^'seraient nuis. Dans cette limite la droite a'c'd' sé confondant avec a'b' , les trois points a',c',b', finissent par être exactement en ligne droite; alors lés angles b' et x' deviennent nuis en même tems que a', et la quantité a l)-|-a'-4-ô' — X , qui mesure la somme des trois angles du triangle a'c'b' , se réduit à a D , donc dans tout triangle la . somma des trois angles est égale à deux angles droits.

, Corollaire 1. Deux angles d’un triangle étant donnés ou .seulement leur somme, on connaîtra le troisième en retranchant la somme de ces angles de deux angles droits.

II. Si deux angles d’iui triangle sont égaux à deux angles d’un autre triangle, chacun à chaoun, le troi-

L 1 ▼ Rft 1. '

«ième de !’un sera égal au troisième de l autre, et les deux triangles seront équiaiigles entre eux.

ni. Dans un triangle il ne peut y avoir qu’un seul angle droit j car s’il y en avait deux , le troisième devrait être nul; à plus foVte raison un triangle ne peut-il avoir qu’un seul angle obtus.

IV. Uans un triangle rectangle la somme des deux angles aigus est égale à un angle droit.

V. Dans un triangle équilatéral chaque angle est le tiers de deux anglçs droits ou les deux tiers d un angle droiti Donc si l’angle droit est exprimé par' i , l'angle du. triangle équilatéral le sera par