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apa

composantes «te. soient toutes plus petites que

funsté , je dis que la valeur totale de la fraction continue sera nécessau’ement un nombre irrationnel.

D’abord , je dis que celte valeur sera plus petite que ' i’unitë. En cfTct , sans diminuer la généralité de la fraction continue , on peut supposer tous les dénominateurs n* , etc. positifs ; or , si on prend tin seul terme de la suite

proposée , on aura , par hypothèse, — < i. Si on prend les

deux premiers , à cause de — < i ^ U est clair que n + ^

est plus grand que n — i : mais m est plus petit que />; et, puisqu'ils sont l’un et l’autre des entiers , m sera aussi plus

petit que n -J- Donc la valeur qui résulte des deux

termes

est plus jietite que l’unité. Calculons trois termes de la fraction continue proposée ; et d’abord , suivant ce qu’on vient de voir , la valeur de la partie

sera plus petite que runité. Appelons cette valeur «, et il

est clair que

■ sera encore plus petite que l’nnité ; donc

la valeur qui résulte des trois termes

est plus petite que l’iinité. Continuant le même raisonnement, on verra que, quel que soit le nombre de termes qu'on calcule de la fraction continue proposée , la valeur ■ qui en résulte est plus petite que l’unité; donc la valeur totale de cette fraction prolongée à l’infîni, est aussi plus

N01B tv. ap 3

|Mtitc que Tuafté. EUe ne poorrait être égale à l'anité que dans le seul cas où la ftnction proposée serait de la forme m

ï> , . m - 4 - 1 etc.

dans tout antre cas eDe sera plus petite.

Cela posé , si on nie que la valeur de la fraction continue proposée soit égale à un nombre irrationnel , supposons qu’elle est égale à un nombre .rationnel , et soit ce nombre

—, et A B étant des entiers qudconquea; on anra donc B

etc.

Soient C , D , E , etc. des indéterminées telles qu’on ait

' etc.

mf

Ji"+.ete. .K

et ainsi à l’infini. Ces différentes fractions continues ayant tous leurs termes plus petits que l’unité , leurs valenrs ou B G D E

sommes etc. sesont plus petites que l’unité A B C D ‘

suivant Ce qui vient d’étrê démontré , et ainsi ou aura B<A, C<B,D<C, etc. ; d’où l’on voit que la snite A , B, C, D, E, etc. est décroissante à l’infini. Mais l’enchaînement des fractions Continues dont U s’agit donne B /«

'' --=r——C; d’où résulte Cï=m A — «B, '

-=z- — D; d’où résulte D=m'B —

Dm"

— — E: d’où résulte E = /n"C — ff"D,

etc.

etc.

1^4 NOTB IV. , . ‘

Et puisque les deux premiers nombres A et B sont entiert par hypothèse « il s’ensuit que tous les autres C , D « E , etc. , qui jusqu'à ce moment étaient indéterminés , sont aussi des nombres entiers. Or , U implique contradiction qu'une suite infinie A , B , C , D , E , etc. soit à-la-fois décroissante et composée de nombres entiers i qir d’ailleurs aucun des nombres A , B , C , D , £ , etc.jie peut être zéro, puisque la fraction continue proposée s’étend à riufini, et

qii'ainsi les sommes représentées par «fc- doivent

toujours être qnelque chose. Donc l’hypothèse , que la somme de la fraction continue proposée est égale à une B . ' ■

quantité rationnelle — , ne saurait snbsisttv ; donc cette tk.

• ^ ” • • tomme est nécessairement un nombre irrationnel.

Lemmx II. Let marnes choses étant posées , si tes fractions

composantes — , — — etc. sont d’une grandeur quelcon-

' que au commencement de la suite ; mais qU’après un certain intervalle , elles soient constamment plus petites que l'unité} fe dis que la fraction continue proposée , en supposant toujours qu 'elle s'étende à l’infini , aura une valeur irrationnelle,

tri" '

Car, si à compter de — 777, par exemple, toutes les frac-

mi" mf’ m'

sont plus petites que

tions — — , — , etc. à l'infini n’" ' ré’ n’ '

l’unité, alors, suivant le lemme 1, la fraction continue

, . " -^-n^+'JL

n’ -4- etc.

aura une valeur irrationnelle. Appelons cette valeur », et la fraction continue proposée deviendra

^ né .

Mais si un fait successivement ,

' n O T K IV. apS

n Mt clair >}ac, u étant irrationnelle, tontes les quantités u", , doivent l’étre pareillement. Or, la dernière

est éqale à la fraction continue proposée ; donc la valeur de celle-ci est irrationnelle.

Nous pouvons maintenant , pour revenir à notre sujet, démontrer cette proposition ^nérale.

TBÉOUBME.

Si un arc est commcnsurable aver le rayon , sa lanfienle sera incommensurable avec le même rayon.

En effet , soit le rayon = i , et rare x— — ,meXn étnat

des nombres entiers , la formule trouvée d-dessns donnera, en faisant la substitution ,' ’

mm

tanf. — = — m'

an '

7/1 — etc.

Or cette fraction continue est dans le cas du lemme II ; car il est clair que les dénominateurs 3 /i , 5 /i , 7 n , etc. augmentant continuellement , tandis que le nuqiérateur m‘ reste de la même grandeur, les fractions composantes seront du deviendront bientôt plus petites que l’unité , donc la

valeur de tang. — est irrationnelle ; donc , si l’arc est cortt-

mensurable avec le rayon , ta tangente sera incommensurable, x ’>

De là résiüte , comme conséquence très-immédiate, la proposition qui fuit l’objet de cette note. .Soit la demicirconférence dont le rayon est i ; si '7; était rationnel l’arc

— le serait aussi , et par conséquent sa tangente devrait être ir ■* .

irrationnelle : mais on sait , au contraire , que la taugente

de l’arc - est ^ale an rayon i ; donc it ne peut être ration»

nel. Donc le rapport de la circonférence au . diamètre, est un nombre irrationnel (i).

(i) Celta propostdoD a «U démonlrèe pour U prcuiièra fais par Ismbert, dans les Mémoiivs de Berlin , inDée 1761.

NOTB V,

i. apfi

11 est probable que le nombre Tt n’est pas même compris dans les irrationnelles algébriques , c’est-i-dire , qu’il ne ' peut être la racine d’une équation algébrique d’un nombre fini de termes dont les coefficients sont rationnels : mais il . parait très-difficile de démontrer rigoureusement cette pro- ' position ; nous pouvons seulement faire voir que le quarré de K est encore un nombre irrationnel.

En effet, si dans la fraction continue qui exprime tang. x, on fait , à cause de tang. tr =: o , on doit avoir