ROTE VIII

Non* terminerons ces applications par la recherche du hombre de conditions on données nécessaires pour déterminer un polyèdre J question intéressante,, et qu il ne parait pas qu’on ait encore résolue.

Supposons d’abord que le polyèdre soit d’une espèce detel minée y c’est-à-dire qu’on connaisse le nombre de ses faces, le nombre de leurs côtés individuellement, et leur disposition les unes à l’égard des autres. On connaît donc les nombres H, S, A, ainsi que a, 6, c,rf, etc. ; il ne s’agit plus que d’avoir le nombre de données effectives , lignes ou angles, par le moyen desquelles le polyèdre peut être construit et déterminé.

Considérons une des faces du polyèdre que nous prendrons pour sa base. Soit n le nombre de ses côtés ; il faudra an — 3 données pour déterminer celte base. Les angles solides hors de la base sont au nombre de S — n ; le sommet de chaque angle exige trois données pour sa détermination; ainsi la position de S — « sommets exigerait 3S — 3n données, auxquelles ajoutant les an — 3 de la base, on aurait en tout 3S — n — 3. Mais ce nombre est en général trop grand , il doit être diminué'du nombre de conditions nécessaires pour que les sommets qui répondent à une même face soient dans un même plan. Nous avons appelé n le nombre de côtés de la base, appelons de même n' y-n” y etc. les nombres de côtés des autres faces. Trois points déterminent un plan ; ainsi ce qui se trouvera de • plus que 3 dans chacun des nombres n', n', etc. donnera autant de conditions pour que les différents sommets soient situés dans les plans des faces auxquelles ils appartiennent , et le nombre total de ces conditions sera égal à la somme («' — 3)-f-(>i'' — 3)-h-(/i"' — 3)-+- etc. MaisJe nombre des termes de cette suite est II — i , et d’aillenrs n-^n'-\-n* -ê-etc.=:aA : donc la somme de la suite sera a A — n —

3 ( H — I ). Retranchant cette somme de3S — n — 3, U res tera 3S— aA-f-3H — 6, quantité qui, à cause de S-f-H= A-f- a , se réduit à A. Donc le nombre de données nécessaires pour déterminer un polyèdre , parmi tous ceux de la même espèce , est égal au nombre de ses arêtes.

Remarqiiex cependant que les données dont il s’agit ne

■ItU NOTE vil 1.

doivent pas étie prises au hasard parmi les lignes et les angles qui constituent les ëlémcnts du polyèdre ; car , quoiqu'on eût autant d'équations que d'inconnues, il pourrait SC faire que certaines relations entre les quantités connues rendissent le problème indéterminé. Ainsi il semblerait , d’après le théorème qu'on vient de trouver, que la connaissance des arêtes seules suffit en général pour déterminer un polyèdre i mais il y a des cas où eelte connaissance n'est pas suffisante. Par exemple, étant donné un prisme non triangulaire quelconque , on pourra former une infinité d'autres prismes qui auront des arêtes égales et placées de la même manière. Car, dès que la base a plus de trois càtés, on peut , en conservant les côtés , changer les angles , et dotuier ainsi à cette base une infinité de formès différentes ; on peut aussi changer la position de l’aréte longitudinale du prisme par rajiport au plan de la base, enfin on peut combiner ces deux changements l'un avec l'autre ; et il en résultera toujours un prisme dont les arêtes ou côtés n’auront pas changé. D'où l'on voit que les arêtes seules ne suffisent pas dans ce cas pour déterminer le solide.

Les données qu'il convient de prendre pour déterminét un solide , sont celles qui ne laissent aucune indétermination, et qui ne donnent absolument qu'une solution. Et d'abord la base ABCDE sera déterminée entre autres manières , si on couuait le côté AB, avec les augles adjacents BAC , ABC , pour le point C r les angles BAÜ , ABD, pour le point D, et ainsi des autres. Soit ensuite M un point dont il faut déterminer la position hors du plan de la base; ce point sera déterminé, si, en imagmant la pyramide MABC, ou seulement lié plan MAJl, on connaît les angles MAB,^ ABM , et riqcliitaisoii du plan MAB sur la base ABC. Si on détermine, par le moyen de trois données pareilles la position de chacun des sommets du polyèdre hors du plan de la base , 4 est clair <{ne le polyèdre sera déterminé absblumeut et d’une manière unique, de sorte que deuk polyèdres constniits avec les mtines données seront nécessairement égaux; ils seraient cêpeudant syminctriques l'nn de )*autre, s’ils étaient construits de différents côtés du plan de la base

NOTB vm.

Il n'e»t j>a» toujours nécessaire d’avoir trois données jiour déterminer cliaquc sommet d’un polyèdre -, car si le point M doit sc trouver sur un plan déjà déterminé dont l’intersection avec la base soit FG , il suffira , après avoir pris FG à volonté, de connaître les angles MGF, MFGj ainsi il faudra une donnée de moins. Si le {loint M doit se trouver sur deux plans déjà déterminés , ou sur leur intersection commune MK. qui rencontre le plan AJiC en K, on connaîtra déjà le c 6 té AK, l’angle AKM , et l’inclinaison du plan AKM sur la base; U suffira donc d’avoir pour nouvelle donnée l'angle MAK. C’est ainsi que le nombre de donnée* nécessaires pour déterminer un polyèdre absolumentvet d’une manière unique, se réduira toujours au nombre de ses arêtes A.

Le côté AB et un nombre A — i d'angles donnés déterminent un polyèdre; un autre côté à volonté et les mêmes angles détermineront un polyèdre semblable. Ü’où ilsuitqne le nombre de conditions necessaires pour que deux polyèdres de la même espèce soient semblables , est égal au nombre des aretes moins un.

La question qu’on vient de résoudre serait beaucoup plus simple si on ne connaissait pas l’espece du polyèdre, mais seulement le nombre de ses angles solides S. Déterminei alors trois sommets à volonté par le moyen d’un triangle où il y aura trois données ; ce triangle sera regardé comme la base du solide , ensuite les sommets hors de cette base seront au nombre de S — 3 ; et la détermination de chacun d’eux exigeant trois domiées, il est clair que le nombre total de données nécessaires pour déterminer le polyèdre , sera 3-1-3 (S — 3), ou 3 S — 6 .

Il faudra donc 3 S — 7 conditions pour que deux pAlyè. '•■dres qui ont un égal nombre S d’angles solides soient sembl ables entre eux.