HOTE IX

qu’on t trouTces par une autre voie ; pour cela , il faut «ubstiiuer, dans chaque cas, les valeurs de m et n , savoir ; ^ Tétraèdre , Hexaèdre, Octaèdre, Dodécaèdre, Icosaèdre. /w= 3 , 3 , 4 , 3 ,.5.

Le même triangle sphérique pqr, d'où l'on vient de déduire l’inclinaison de deux faces adjacentes , donne CO it it

cos pq — cot P cot « , ou = cot — cot — . Donc , si on OA m n ■

ap]>eile R le rayon de la sphère" circonscrite au (lolyèdre, et r le rayon de la sphère inscrite dans le même polyèdre , R it ir

on aura — :=r tang — tang — ; d'ailleurs , en faisant le côté

AB = O , on a CA = -î- — , et par conséquent R" = r* -f-

IT

sin — n

Ces deux équations donneront pour chaque polyèdre

If

sin* n

les Taleurt des rayons R et r des sphères circonscrite et

. . .rx • • *

inscrite. On a aussi , en supposant G connu , r= 7 a cot —

tang 7 C et R =; 7 a tang — tang 7 C.

Dans le dodécaèdre et l’icosaèdre , on voit que le rapport

a la même valeur tang — tang — . Donc, si R est le même

pour tous les deux , r sera aussi le même ; c’est-à-dire , que si ces deux solides sont inscrits dans une même sphère , ils seront aussi circonscrits à une même sphère, et vice vend. La même propriété a lieu entre l’hexaèdre et l'octaèdre,

puisque la valenr de — est, pour l’iin et pour l’autre.

langytang —

Remarquons que les polyèdres réguliers né sont pas les seuls solides qui soient compris sous des polygones réguliers égaux; car, si on adosse par une face commune deux té-

HOTB X.

rraidrei r^gulifr» égaux ^ îl en résultera un solide compris sous six triangles égaux et équilatéraux. On pourrait encore former un autre solide ayec dix triangles égaux et équilatéraux ; mais les polyèdres réguliers sont les seuls qui aient eu même temps les angles solides égaux.