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Sur l'aire du iriangie sphérique.
Soit 1 ,1e rayon de la s]>hùre, « la tlemi-circonférence d'un grand cercle; soient a, b, c,\ei trois c6tcs d’un triangle sphérique ; A , B , C , les arcs de grand cercle qui mesurent les angles opposés. Soit A-f-B-f-C — ■* — S, suivant ce qui a été démontre dans le texte * , l’aire du triangle sphériqiie est égale à l’arc S multiplié par le rayon , et ainsi est représentée par S. Or, par les analogies de Néper^ on a : •
tang :cot — ::cos :cos ;
de là tirant la valeur de tang (A-l-B) , on en déduira aisément celle de tang (f A-t-^B-t-^C) = — cot | S : on aura ainsi
cot -j n cot 7 6 -f- cos C
cot 4 S = — T— t: •
sin C
formule très - simple qui peut servir a calculer l’aire d’un triangle sphérique lorsqu’on connaît deux côtés a, ô, et l’angle compris C. On peut aussi' en déduire plusieurs conséquences remarquables.
1 ® Si l’angle C est constant, ainsi que le produit
cot — cot l’aire du triangle sphérique représentée par S, a a
demeurera constante. Donc deux triangles CAB, CDE,qui ont un angle égal C , seront équivalents , si on a
tang 4 CA: Ungi CD : ; tang 4 CE: tang 4 CB , c’est-à-dire, si. les tangentes des moitiés des côtés qui comprennent l’angle égal , sont réciproquement proportionnelles.
Pour faire sur le côté donné CD et avec le même
angle C, un triangle CI)E équivalent au triangle donné CAB, U faut déterminer CE par la proportion '
tang 7 CD:tang-j CA:; tang-j CB;tang 7 CE. ■
3® Pour faire avec l'angle du sommet C un triangle isoscèle DCE équivalent au triangle donné CAB, il faut prendre tang-j CD, ou tangj CE, moyenne proportionnelle entre tangj CA et tang^ CB.
O » . „ cot-j-a cot-» i'*+cos G
4 La même formule cot-j S= —
sin C
- peut servir à démontrer d’nne manière très -simple la proposition XXVI du livre Ail; savoir, que de tous les triangles sphériques formés avec deux côtés donnés a et ô, le plus grand est celui dans lequel l'angle C compris par les ’ côtés donnés , est égal à la somme des deux autres angles A et B. '
' Du rayon OZ = i décrivez la demi-.circonférence VT^Z,, faites l'arc ZX = C, et de l'autre côté du centre prenez OP = cotj a cot-j ô; enfin joignez PX et abaissez XY perpendiculaire sur PZ. ,
PY
Dans le triangle rectangle PXY on a cot P=er= —
col a cot i 6-t- cos C .
T- donc P^-'-S; donc la surface S
sm C
sera un maximum , si l’angle P en est un. Or, il est évident que si on mène PM tangente à la ciixonfcrence , l'angle MPO sera le maximum des angles P, et alors on aura MPO = MOZ — 7 «. Donc le triangle sphérique, formé avec deux côtés donnés , sera un maxiptum si on a v S = C — 7 it , ou C = A -f- B , ce qui s'accorde avec la propositioncitée.
On voit en même temps, par cette construction , 'qu'il n'y aurait pas lieu à maximum si le point P était au-dedans du cercle, c'est - à - dire f si l'on avait cot-^ a cot-^ b < i. Condition d’où Pon tire successivement cot^ a < tangt b, tang (i « — ■4'^) < ‘■“fi-î 4 ^ — 7 <» < 4 enfin «<
a-irb , ee qui s’accorde encore avec le scholie de la même proposition. ,
