TRIGONOMÉTRIE

La Trigonoraëtrie a pour objet de résoudre les tri* angles, c’est-à-dire, de déterminer leurs angles et. ' leurs côtés par le moyen d’un nombre de données suffisant.

Dans les triangles rectilignes il suffit de connaître trois des six parties qui les composent, pourvu que parmi ces parties il y ait un côté. Car si on ne donnait que les trois angles, il est visible que tous les triangles semblables satisferaient à la question .

Dans les triangles sphériques trois données quelconques , angles ou côtés , suffisent toujours pour déterminer le triangle, parce que dans ces sortes de triangles on ne considère pas la grandeur absolue des côtés, mais seulement leur rapport avec le quadrant ou le nombre de degrés qu’ils contiennent.

Dans les problèmes annexés au livre II, on a déjà vu comment les triangles rectilignes se construisent au moyen de trois parties données ; les propositions XXIV et XXV du livre V donnent ég.alement' une idée des constructions par lesquelles on pourrait résoudre les cas analogues des triangles sphériques. Mais ces constructions , qui sont exactes en théorie , ne donneraient qu’une médiocre approximation dans la pratique ( i ) , à cause de l’imperfection des instni-

(i) Il faut distinguer en elTet les figures qui ne serrent qu'à diriger le raisonnement ponr la démonstration d’un théorème ou

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,438 '' tKteodoMRtmli.

ments dont elles exigent l’eiaploi : on les appelle des méthodes graphiques. Les méthodes trigonométriques, uu contraire, indépendantes de toute opération mé*'' «anique, donnent les solutions avec tout le degré d’exactitude qu’on peut desirer : elles sont fondées " , sur les propriétés des lignes appelées sinUs , cofiaus , tangentes , etc. , au moyen desquelles on est parvenu à exprimer d’une manière très-simple les relations qui existent entre les côtés et les angles des triangles. '

Nous allons d’abord exposer les propriétés de ces lignes et les principales fonnules qui en résultent | formules qui sont d’un grand usagti dans toutes les parties des mathématiques , et qui fournissent même à l’analyse algébrique des moyens de perfectionnement. Nous les appliquerons ensuite à la résolution des triangles rectilignes et à celle des tiiat^leg sphériques.

Division de la Circonférence.

I . Jusqu’à ces derniers temps les géomètres s’étaient accordés à diviser la circonférence en 36o parties égales appelées degrés , le degré en 6o minutes, la minute en 6o secondes, etc. Ce mode présentait quelques facilités dans la pratique , à cause du grand nombre de diviseurs de 6o et de 36o : mais il éuit réellement sujet à l'inconvénient des nombres complexes , et il nuisait souvent à la rapidité du calcul.

Les savants , à qui on doit l’invention du nouveau système des poids et mesures , ont pensé qu’il y aurait un grand avantage à introduire la division décimale dans la mesure des angles. En conséquence ils ont

U solution d'un problème , des ligures que l’on construit pour connaître quelques-unes de leurs dimensions. Les premières sont toujours supposées exactes ; les secondes , si elles ne sont pas tracées exactement , donneront des résultats fautifs.

tRioonollÉtktBi 33(^

regardé comme unité principale le quart de circon* fërence ou le quadrant, mesure de l’angle droit, et ils ont divisé cette unité en loo parties égales appelées degrés, le degré en loo minutes , et la minute en loo secondes.

Nous emploierons désormais la nouvelle division ou la division décimale de la circonférence; ce-'* pendant comme les tables trigonométriques, calculées suivant cette division , ne sont pas encore assea généralement répandues, nous aurons soin d'ajouter dans les exemples , les résultats que donnent les calculs faits suivant l’ancienne division , ou la division sexagésimale de la circonférence. La différence ne tombe jamais sur la valeur des côtés, mais seulement sur la valeur ou plutôt sur l'expression en degrés des angles et des arcs. '

II. Les degrés , minutes et secondes se désignent respectivement par les caractères®, : ainsi l’expression i 6 ® 6 ' yS" représente un arc ou un angle de i 6 degrés 6 minutes 75 secondes. Si on rapportait ce même arc au quadrant pris pour unité, il s’exprimerait par o, 160675. On voit en même temps que l’angle mesuré par* cet arc, est à l’angle droit 160675 ; 1000000, rapport qu’on ne déduirait pas aussi facilement des expressions données par l’ancienne division de la circonférence.

Les arcs et les angles sont exprimés indistinctement dans le calcul par des nombres de degrés, minutes et secondes. Ainsi nous désignerons l’angle droit ou le quadrant par loO", deux angles droits mi la demi - circonférence par aoo®, quatre angles droits ou la circonférence entière par 4oo®; ainsi de suite.

III. Le complément d’un angle ou d’un arc est ce qui resté en retranchant cet angle ou cet arc de 100. Ainsi un angle de a 5 ® 40' s pour complément,

34 o TBtOOROHÉTBlS.

74° 60' ; un angle de ia° 4 ' 62" a pour complément, 870 95' 38 ".

En général, A étant un angle ou un arc quelcon* que, 100“ — A est le complément de cet angle ou de cet arc. D'où l’on voit que, si l’angle ou l’arc dont il s’agit est plus grand que ioo“,son complément sera négatif. C’est ainsi que le complément de 160° 84 * lo* est — Go'» 84' 10". Dans ce cas, le complément, pris positivement , serait la quantité qu’il faudrait retrancher de l'angle ou de l’arc donné, pour que le reste fût égal à loo’’.

Les deux angles aigus d’un triangle rectangle valent ensemble un angle droit : ils sont donc compléments l’un de l’autre.

IV. Le supplément d’un angle ou d’un arc est ce qui reste en ôtant cet angle ou cet arc de aoo», valeur de deux angles droits ou d’une demi-circonférence. , Ainsi A étant un angle ou un arc quelconque, aoo" — A est son supplément.

Dans tout triangle, un angle est le supplément de la somme des deux autres , puisque les trois ensemble .> font 200°.

Les angles des triangles, tant rectilignes que sphériques , et les côtés de ces derniers , ont toujours leurs , suppléments positifs ; car ils sont toujours moindres que 200“.

Notions générales sur les sinus, cosinus,

, * tangentes, etc.

V. Le sinus de l’arc AM , ou de l’angle ACM , est la perpendiculaire MP abaissée d’une extrémité de l’arc sur le diamètre qui passe par l’autre extrémité.

Si à l’extrémité du rayon CA on mène la perpendiculaire AT jusqu’à la rencontre du rayon CM prolongé, la ligne AT, ainsi terminée , s’appelle la tangente, et CT la sécatUe de l’arc AM ou de l’angle ACM . ‘

THIAONOM^TAIt. 34l

Ces trois lignes MP, AT, CT, dépendantes de l’arc AM, et toujours déterminées par l’arc AM et le rayon , se désignent ainsi : MP = sin AM , ou sin ACM, AT = fan^ AM, ou tanff ACM TC, = séc AM, ou séc ACM.

VI. Ayant pris l’arc AD égal à un quadrant, si des points M et D on mène les lignes M Q , D S perpendiculaires au rayon CD, l’une terminée à ce rayon , l’autre terminée au rayon C M prolongé ; les lignes MQ , DS et CS seront pareillement les sinus ^ tangente et sécante de l’arc MD, complément de AM. On les appelle, pour abréger , les cosinus, cotangente et cosécante de l’arc AM, et on les désigne ainsi : MQ = cos AM , ou cos ACM , DS = cot AM , ou cot ACM , CS = coséc AM , ou coséc ACM. En général , A étant un arc ou un angle quelconque , on a cos A.=sin ( ioo° — A ) , cot A= tang ( loo® — A) , coséc A = séc ( loo" — A).

Le triangle MQC est, par construction, égal au triangle CPM, ainsi on a CP = MQ; donc dans le .triangle rectangle CMP , dont l’hypoténuse est égale au rayon , les deux côtés MP , CP sont le sinus et le cosinus de l’arc AM. Quant aux triangles CAT , CDS, ils sont semblables aux triangles égaux CPM , CQM , et ainsi ils sont semblaliles entre eux. De là nous déduirons bientôt les différents rapports qui existent entre les lignes que nous venons de définir ; mais auparavant il faut voir quelle est la marche progressive de ces mêmes lignes , lorsque l’arc auquel elles se rapportent augmente depuis zéro jusqu’à aoo°.

VII. Supposons qu’une extrémité de l’arc demeure fixe en A , et que l’autre extrémité , marquée M , parcoure successivement toute l’étendue de la demi, circonférence depuis A jusqu’en B dans le sens ADB.

Ixirsque le point M est réuni en A, ou lorsque l’arc AM est zéro, les trois points T , M , P , se con-

34^ teigonohbtrib. ,

fonilent avec le point A ; d’où l’on voit que le sinus et la tangente d’un arc zéro sont zéro , et que le cosinus de ce même arc est égal au rayon , ainsi que sa sécante. Donc en désignant par R le rayon «lu cercle, on aura

sùi o=o,iang 0 = 0 . coio=rR, séco = R.

VIII. A mesure que le point M s’avance vers I), le sinus augmente, ainsi que la tangente et la sécante; mais le cosinus, la cotangente et la cosécante diminuent.

Lorsque le point M se trouve au milieu de AD, ou lorsque l’arc AM est de 5o“, ainsi que son complément MD, le sinus MP est égal au cosinus MQ ou CP , et le triangle CMP , devenu isoscèle , donne la proportion MP ; CM :: i : a, ou si/i So" : R :: •