I : l/a. Donc sin 5o“ = cos 5o®= =^R \/a. Dans
ce même cas le triangle CAT devient isoscèle et égal au triangle CDS ; d’où l’on voit «|ue la tangente de 5o®et sa cotangentc sont toutes deux égales au rayon , et qu’ainsi on a tang 5o° — cot 5o“ = R.
IX. L’arc AM continuant d’augmenter, le sinus augmente jusqu’à ce que le point M soit parvenu en D : alors le sinus est égal au rayon, et le cosinus est zéro. On a donc«n ioo“ = R et cos ioo®=o ;et l’on peut remarfjuer que ces valeurs sont une suite de celles que nous avons trouvées pour les sinus et cosinus de l’arc zéro ; «T.nr le complément «le io«i* étant zéro, on a .«'// ioo“= cos o"= R etco.« ioo“^‘ sîn o“ = O.
Quant à la tangente, elle augmente d’une manière très-rapide à mesure que le point M s’approche de D ; et enfin lorsqu’il est parvenu en D , il n’existe plus proprement de tangente, parce que les lignes AF, CD, étant parallèles , ne peuvent se rencontrer. C’est ce qu’on exprime en disant que la tangente de ioo“ est infinie, et on écrit long ioo”= 8.
ralGOMOHETaiB. 343
Le complément de 100“ étant zéro, on a long 0 = eot 100° et cot O = t€uig loo". Donc cot o =00 et COt lOQO — O.
. X. Le point M continuant à avancer de D vers B, les sinus diminuent et les cosinus augmentent. Ainsi on voit que l’arc AJVI' a pour sinus M' P', et pour cosinus M'Q ou CP'. Mais l’arc M'B est supplément de AM', puisque AM'-{- M'B est égal à une demicirconférence ; d’ailleiuY si l’on mène M'M parallèle à AB, il est clair que les arcs AM, BM', compris entre parallèles, seront égaux, ainsi que les perpendiculaires ou sinus MP, M'P'. Donc le sinus d’un arc ou d’un angle est égal au sinus du supplément de cet arc ou de cet angle.
L’arc ou l’angle A a pour supplément a 00° — A: ainsi on a en général
sin A —sin ( aoo": — A ).
La même propriété s’exprimerait aussi par l’équation sin ( 100“ -J- B ) = sin ( 100® — B ) , B étant l’arc DM ou son égal DM'.
. XI. Les mêmes arcs AM ' , AM, qui sônt suppléments l’un de l’autre, et qui ont des sinus égauxi ont aussi les cosinus égaux CP', CP ; mais il faut observer que ces cosinus sont dirigés dans des sens différents. Cette différence de situation s’exprimedans le calcul par l’opposition des signes : de sorte que si on regarde comme positifs , ou affectés du signe +, les cosinus des arcs moindres que 100°, il faudra regarder comme négatifs ou affectés du signe — , les cosinus des arcs plus grands que 100®. On aura < donc en général'
cojA = — cos (200® — A), ou cos ( 100° -I- B ) =— cos ( 100® — B ) ; c’est-à-dire que le cosinus d'un arc ou d’un angle plus grand que loo" est égal au cosinus de son supplément , pris oégaiioement.
344 THIGOROllBTBIt.
Le complément d'un arc plus grand que loo** étant négatif * , il n’est pas étonnant que le sinus de ce complément soit négatif ; niais pour rendre cette vérité encore plus palpable, cherchons l’expression > de la distance du point A à la perpendiculaire MP.
Si on fait l’arc AM = a;, on aura CP = coj .r, et la • distance cherchée AP = R — cos x. La même formule doit exprimer la distance du point A à la ' droite MP, quelle que soit la grandeur de l’arc AM, dont l’origine est au point A. Supposons donc que le ' point M vienne en M', en sorte que x désigne l’arc AM', on aura encore en ce point AP' = R — cos xf donc cos X = R — AP'= AC— AP'= — CP'{ ce qui fait voir que cos x est alors négatif ; et parce que CP' =CP = COJ ( aoo“ — x),onacojX“- — coj <
(aoo“ — X ) , comme on l’a déjà trouvé.
On voit par-là qu’un angle obtus a le même sinus et le même cosinus que l’angle aigu qui lui sert de supplément, avec cette seule différence que le cosinus de l’angle obtus doit être affecté du signe — .'Ainsi on a sin i5o® = jm5o® = ^ R|/^a, et coj i5o”= —
COJ 5o°= — ^Ri/a. ‘ . ■
Quant à l’arc ADR égal à la demi -circonférence,' son sinus est zéro, et son cosinus est égal au rayon pris négativement ; on a donc sût aoo"=;o , et cos aoo"
■ — R. C’est aussi ce que donneraient les formules sin A =sin aoo“ — A) , et cos A.= — cos (aoo“ — A ) , en y faisant A = aoo“.
XII. Examinons maintenant ce que devient la tangente d’un arc AM' plus grand que ioo°. Suivant La définition , elle doit être déterminée par le concours des lignes AT, CM'. Ces lignes ne se rencontrent point dans le sens AT, mais elles se rencontrent dans le sens opposé AV ; d’où l’on voit que la tangente d'un arc plus grand que loo" est négative. D’ailleurs , si on observe que AV est la tangente de l’arc AK supplément de AM' (puisque NAM' est une
TKieOROHBTaiÉ. -345
iierai*circonférence ) , on en conclura que la tangente d’un arc ou d’un angle plus grand que 100° est égale à celle de son supplément, prise négativement , de 'sorte qu’on a
tang A = — tang ( 200'’ — A )
11 en est de même de ta cotangente représenta par DS', laquelle est égale, et en sens contraire à DS GOtangente de AM. On a donc aussi cüt K — — cor (200“ — A).
Les tangentes et les cotangentes sont donc négatives 1 ainsi que les cosinus, depuis 100° ju.squ’à 200°. Et, dans cette dernière limite , on a tang 200° = o et cot 200**= — coro=— 00.
XIII. Dans la trigonométrie il n'y a pas lieu de considérer les sinus , cosinus , etc. , des arcs ou des angles plus grands que aoo°; car c’est toujours entre o et 200° que sont compris les angles des triangles tant rectilignes que spliériques , et les côtés de ces derniers. Mais dans diverses applications de la géométrie , il n’est pas rare de considérer des arcs plus grands que la demi-circonférence, et môme des arcs comprenant plusieurs circonférences. Il est donc nécessaire de trouver l’expression des sinus et cosinus de ces arcs , quelle que soit leur grandeur.
Observons d’abord que deux arcs égaux et de signes contraires AM , AN , ont des sinus égaux et de signes' ' contraires MP , PN , tandis que le cosinus CP est le ménti. .pour l’un et pour l’autre. On a donc en général sin ( — .r)=r — sta .r coy( — jr)z=:enjx,
formules qui serviront à exprimer les sinus et cosinus des arcs négatifs.
Dc]iuis 0° jusqu’à aoo” les sinus sont toujours posiiifsi parce qu’ils sont situés d’un môme côté du diamètre A 0 > depuis 2oo“jusqu’à 4 oo®lcs sinus sont négatifs, parce ([u’ils sont situés de l’autre côté de ce diamètre. Soit ABN' = .r un arc pins grand que 200°, son sinus P'N' est égal à PM sinus del’arc AM rrx — 200“; donc on a en général ' ^ sin .rr:;z — sin{x — 200”).
,346 TftlCONOItBTaiB.
Cette formule donnerait les sinus entre aoo** et 4 ob° au moyen des sinus entre o° et aoo° ; elle donne en particulier fin 4oo° =— rûi aoo° = Oi il est évident en effet que si un arc est égal à la circonférence entière, les deux extré-, mités se confondent en un meme point, et le sinus se réduit à zéro.
11 n'est pas moins évident que , si à un arc quelconque AM on ajoute une ou plusieurs circonférences , on retombera exactement sur le point M , et l’arc ainsi augmenté aura le même sinus que l’arc AM ; donc si C désigne une circonférence entière ou 400® , on aura
sin X = sin {C+x)=.iin ( a C-i-.r )=»in ( 3 C f-a.-) etc.
La même chose aurait lieu pour les cosinus , tangente, etc.
- -f Maintenant, quel que soit l’arc proposé a; , il est facile de voir que son sinus pourra toujours s’exprimer, avec un signe convenable, par le sinus d’un arc moindre que 100°. , Car d’abord on peut retrancher de l’arc x autant de fois 400 ® qn’lls peuvent y être contenus; soit le reste jr, on aura fin J-z=.tin y. Ensuite si y est plus grand que aoo® , on fera j^=aoo®-l-s, et on aura siny — — stnz. Tous les cas t'sont donc réduits à celui où l’arc proposé est moindre que aoo®, et comme d’ailleurs on a tin (ioo®-l-x) = tin (100° — x) ,il est clair qu'ils se réduisent ultérieurement , au cas où l’arc proposé est entre zéro et 1 00®.
XIV. Les cosinus se réduisent toujours aux sinus en vertu de la formule co.t A = stn { 100® — A), ou, si l’on veut, de la formule cor K = sin (100® + A); ainsi, sachant évaluer les sinus dans tous les cas possibles , on saura de même évaluer les cosinus. Au reste, on voit directement parla, figure que les cosinus négatifs sont séparés des cosinus positifs par le diamètre DE, en sorte que tons les arcs dont l’extrémité tombe 4 gauche de DE ont un cosinus positif, tandis que ceux dont l’extrémité tombe à droite ont un cosinus négatif.
Ainsi de o°à ioo®les cosinus sont positifs, de iuo®à Boq** ils sont négatifs, de 3 oo® à 400" ils redeviennent positifs; et apres une révolution entière, ils prennent les mêmes valeurs que dans la révolution précédente, car on a aussicor (4oo®-|-x)“cor X.
tmieoioHBTiii. 347
D'après ces explications, U est aisé de voir que les sinus et cosipus des arcs multiples du quadrant , ont les valeurs suivantes :
* ~ “ cos ioo“=o
cos 3 oo“=o cos Sno^zTO cos 700“= O cos 90o®= 6 etc.
sin o®=o
sin 100® = R
cos o®isR
sin ïoo®=o
sin 3 oo®= — R
eos aoo®=— R
sin lJoo"=:o
sin 5 oo®z=R
cos 400® =R
sin 6oo®=o
sin 700“=— R
cox6oo*= — R
sin 800® =0
sin goo® = R
cos 800® = R
' etc.
etc.
etc.
En général anra :
i désignant un
lombrc entier qu
sin ai. 100®
cos (ai -f- I ) .
tin (4 i-l- I ) . 100® rr: R
cos 4 i . 100® =
XM ( 4 i — i). 100® = — R
cos (4 i -1- a ) .
Ce que nous venons de dire des sinus et cosinus nous dispense d’entrer dans aucun détail particulier sur les tangentes, cotangentes, etc., des arcs plus grands que aoo**; car les valeurs de ces quantités et leurs signes sont toujours faciles g déduire decellesdes sinus et cosinus des mêmes arcs, ainsi qu’on le verra par les formules que nous allons exposer.
7 héorémej et formules concernant les sinus , cosinus, tangentes, etc.
XV. Le sinus d'un arc est la moitié de la corde qui sous- tend un arc double.
Car le rayon CA , perpendiculaire à MN , divisa fig. pn deux parties égales la corde MN et l’arc soustendu MAN ; donc MP , sinus de l’arc MA , est la 'moitié de la corde MN qui sous-tend l’arc MAN, double de MA.
La corde qui sous-tend la sixième partie de ht circonférence est égaie au rayon ; donc siti
. ou sût 33“^ = fR, c’est-à-dire que le sinus du tiers de l’angle droit est égal à la moitié du rayon.
^ XVI. Le quarré du sinus d'ün arc plus le quarré de son cosinus est égal au quarré du rayon , de
348 T&i GOROMirkis.
sorte qu'on a en général %\f\ * A + cos' A=R ’ (i).
Cette propriété résulte immédiatement du triangle
rectangle CMP, où l’on a MP + CP=CM.
Il s’ensuit qu’étant donné le sinus d’un arc on trouvera son cosinus , et vice versa , au moyen des formules cos A = ± \/ { R ' — sin ’ A ) , sin Az=ziiz
(R’— C 05 ’ A). Le double signe de ces formules vient de ce que le même sinus MP répond à deux arcs AM, AM', dont les cosinus CP, CP' sont égaux et de signes contraires , comme le même cosinus CP répond à deux arcs AM , AN, dont les sinus MP , PN sont pareillement égaux et de signes contraires.
Ainsi, par exemple, ayant trouvé sin 33®-|=7R, on en déduira cos 33° -j ou sin 66°|= l/'(R* — fR' )= t/|R*=iRl/3.
XVII. Jütant donnés les sinus et cosinus .de l’arc A , on peut trouver les tangente , sécante , cotangente et cosécante du même arc au moyen des Jormules suivantes :
long A =
R sin A co s A
iéc A
" cos A
cot A =
R cos A
sin A
cosec A = : — ^ .
sin A
£n effet les triangles semblables CPM, CAT, CDS, donnent les proportions;
CP: PM :: CA: A'F ou cos AisinA :: R : tang A— ^
° cos A
CP : CM :: CA : CT ou cos A : R :: R ; séc A:
’ cos A ,
PM : CP : : CD : DS ou sin A : cos A : : R : cot A —
stn A
PM : GM :: CD ■ CS on sin A : R :: R : coséc A" ;
sin A
(1) On désigne ici par sm * A le qiiarré desin A, et «emblabie* ment par coj’ A le quarre de cos A. n
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TaiGONOMBTRIE. 34^
d’où l’on tire les quatre formules dont il s’agit. On peut observer au reste que les deux dernières formules se déduiraient des deux premières en mettant simplement loo" — A au lieu de A.
Ces formules donneront les valeurs et les signes propres des tangentes , sécantes , etc. pour tout arc dont on connaîtra le sinus et le cosinus; et comme la loi progressive des sinus et cosinus, selon les différents arcs auxquels ils se rapportent, a été suffisamment développée dans le chapitre précédent , il ne reste rien à desirer sur la loi que suivent semblablement les tangentes, sécantes, etc.
On peut confirmer aussi par leur moyen plusieurs résultats qui ont été déjà obtenus relativement aux tangentes > par exemple, si l'on fait A=ioo*’,.on aura sin A = R, et
cos A = o, donc tang 100“=:—, expression qui désigne
une quantité infinie; car R* divisé par une quantité très~ petite, donnerait un quotient très-grand ; donc R’ divisé par zéro donne un quotient plus grand que toute quantité finie. Et parce que zéro peut être pris avec le signe -f- ou avec le signe — , on aura la valeur ambiguë tang 100" = i: oB. ‘
Soit encore A=aoo“ — B, on aura sin A.z=zsin B, et
cos K —— cos B; donc /a/ig(aoo — B)z=-
R sin B
— cor B
■ tang B , cc qui s’accorde avec l'art, xii.
cos B
XVIII. Les formules de l’article précédent , combinées entre elles et avec l’équation sin ’ A -f- cos ’ A U • , en fournissent quelques autres qui méritent attention.
"R* sin » A
On a d’abord R ’ -f- tang* A = R *
R’ («’/i* A-|- cor’ A) R*
cor ’ A cor’ A
— séc* A, formule qui se déduirait immédiatement
, donc R ’ •
cor’ A tasig* A
du triangle rectangle CAT; on aurait de même) par les formules ou par le triangle rectangle CDS, R*-|-w#’ A. = cosée' A.
Enfin , si on multiplie entre elles les formules
• R sût A .R cos A
tans A , cot A = — : — — , on aura tans A
^ cos A sut A ^
X cot A = R * , formule qui donne cot A =
tangA ’
et tanff A = — -r. On aurait de même cot B =
