COI A
iangh ' ^ ® •• ® ^ ; c’est-à-
dire , que les cotangentes de deux arcs sont en raison inverse de leurs tangentes.
Cette formule cot A x tang A = R ’ se déduirait immédiatement de la comparaison des triangles semblables CAT, CDS, lesquels donnent AT: CA:; CD : DS, ou tang A : R :: R : cot A.
, XIX. Etant donnés les sinus et cosinus de deux arcs A et h ^ on peut déterminer les sinus et cosinus de la somme ou de la différence de ces arcs, au moyen des formules suivantes:
stn(a-hà) = - ^
, . , sin a cos b — stn b cot a
sut {a — b) = ^
eos {a + b) =
cos a cos b — sin a tin b
, . \ ‘ cos a cos b -I- sin a sin b
eos {a — b) = ..
Soit le rayon AC = R , l’arc AB= a, l’arc BD=i, et par conséquent ABD=^a + b. Des points B et D abaissez BE, DF, perpendiculaires sur AC ; du point D menez DI perpendiculaire sur BC , enfin du point I menez IK perpendiculaire et IL parallèle à AC.
Les triangles semblables BCE, ICK donnent les proportions
Oigi:i20d by C'oo<^U
tâtea’dn'nÉtàife.
3/ii
Sin a cos b
Cb : CI :: BE : IK ou R : cos b sin a : IK :
CB: CI :: CE: CK ou R:coi b :: cos a:CK =
cos a cos h
l^ea triangles DIL, CBE, qui ont les côtés perpendiculaires chacun à chacun , sont semblables et donnent les proportions
cos a sm b
CB: DI ;: CE:DL ou R :sw ô :: cos a : DL= ^
CB : DI :: BE : IL ou R : sm b:: sin a: -
Mais on a
IR + DL=DF=ji/i (c + ô), et CK — IL=CF=
cos (a-4-ô). Donc
. , , . sin a cos b sin b cos a
sm [a + b) =- — g
, , , cos a cos b — sin a sin b
cas (a + b) = g
II serait facile de déduire de Oes deux formules les valeurs de sin (a — ô ) et de cos (a — ô ) ; mais on peut les trouver directement par la même 6gure. En effet, si on prolonge le sinus DI jusqu'à ce qu’il rencontre la circonférence en M , on aura BM~BD.=:ô, etMI = ID=smê. Par le point M menez MP perpen-' diculaire et MN parallèle à AC ; puisque MI = DI, on aura MN = IL, et IN = DL. Mais on a IK — IN = MP=iôï (a — ô), etCK-+-MN=CP=rcoj (a — ô)j donc
. , , , sin a cos b — ■ sin b cos a
Sin {a — b) =
' , , . cos a cos b sin a sin b
COS {a — b) = g
Ce sont les formules qu’il s’agissait de démontrer.
On ponrratt craindre que la démonstration précédente ne fût pas aases générale, parce que la figure qu’on a suivie suppose les arcs a et û, et même n-\-b plus petits que
35a TEIGOHOMBTmB.
loo'*. Mais d'abord la démonstration s'étend sans peine au cas où a et & étant plus petits que loo”, leur somme a -{-b est > loo”. Alors le point F tomberait sur le prolongement de AC, et le seul changement à faire dans la démonstration, serait de prendre cos (a A ) — CF ; mais comme ou aurait
en même temps CF = IL — CK, il en résulte toqjonra cor (fl -f- A) = CK — IL, ou R cos (o+A) = cos a cos A — sin a sin A.
Supposons maintenant que les formules
R j/rt ( fl -f- A ) = sin a cos A + sin A cos a R cos ( fl + A ) — cos a cos A — sin a sin A soient reconnues exactes pour toutes les -valeurs de a et de A , moindres que les limites A et B , je dis qu’elles auront encore lieu lorsque ces limites seront 100° -f- A et B.
En effet, on a généralement, quel que soit l’arc ar, sin ( 100® -F ar) = cos x 'cos ( 100" -|-a:)z= — .«/IX.
Ces équations sont manifestes lorsque x est < 100®, et on s’assure aisément qu’elles ont lieu pour toutes les valeurs de X, au moyen de la fig. 18, où MH" et M'H'" sont deux diamètres perpendiculaires entre eux , et où l’on peut prendre successivement pour x les valeurs AM, ADM', ADBM", ADBEM'", ou ces valeurs augmentées de tant de circonférences qu’on voudra.
Cela posé , soit x = ;?i A, on aura
. «fl ( 100® + = cot (in -1-A) coi ( 100® 4- 'u+^)= — «'«(/n + A).
Mais, suivant l'iiypothèsc, on connaît les valeurs des seconds membres, tant que m et A n’cxcèdcnt pas les limites A et B; donc dans cette même hypothèse on aura :
R sin ( 1 00® /fl 4 - ù ) = cos m eos A — sin m sin A.
R cos ( 1 00® 4- /fl 4- A ) = — sin m cos A — cos m sin A. Soit 100® 4- «J = fl, puisqu’on a «’/t ( 100® 4- m) = coj/n et co.t (100® nf=. — sm m), il en résultera cos m=sin a et sin m =. — cos a; donc en faisant cette substitution dans les é(|uations précédentes, on aura :
R sin (fl4- ù) =r«fl fl cos b cas a sin A R cos (fl-4- A) = cos a cos b— sin a sin A.
D’où l’on voit que res formules , qui n’étaient démontrées
TKlGOROlf BTmiB.
d'abord que dans le* limite* <f '< A, 6 < B, le «ont mainte-^ nant dans les limites plu* étendues a < ioo° + A , 6 < B. Mais , par la même raison , la limite de b pourra être reculée de loo”, ensuite celle de a, ce qui prul se continuer indéfiniment ; donc les formules dont il s'agit ont lieu , quelle que soit la grandeur des arcs a et b.
L'arc a étant composé de la somme de* deux arcs a — b et on aura , d'après les formules précédentes ,
R rôi O =: «n (a — 6) cot b -f- cos {a — b") sin b R cos a = cos (a — b) cos b — . sin (a — b) sin b. !
Et de celles-ci on tire : . -
^ R sin (a — n cos b— sin b cos a
R cor ( a — & ) z= cor a cor & 4- ri/i a s(/i & , formules qui auront encore lieu pour toute* valeurs de a et de A
* XX. Si dans les formules de l’article précédent on fait b=za, la pretnière et la troisième donneront
sin 2a =
a stn a cot a
-, cos 2 0 =
cot’ a — sin’ a
Celles-ci serviront à trouver le sinus et le cosinus d’un arc double , lorsqu’on connaît le sinus et le cosinus de l’arc simple. C’est le problème de la duplication d’un arc.
Réciproquement pour diviser un arc donné a en deux parties égales , mettons daiis les mêmes formules à la place de a , nous aurons
sin a = -
a sin *• a cor i a
-, cos az
cos’ -ja — sin’ -j
Or, puisqu’on a tout-à-la-fois cos ’ -j a sot’ ^a= R* et cor* j a — sin' ^ a=R cos a, il en résulte cos *7a=:7R’-+-7R cos a et sin '{az= iR’ — i R cos a, donc
sin^ 0=1/ (;R* — 41^ cos a) cos‘- a= W'' (^R’-f-iRcos a).
Ainsi, eu faisant a=ioo", ou cos a=o, on a sin 5 o'»c=coi 5 o'’= 1 ''tR’=Ri^t; ensuite si l’on
*ki6oiioiiÉtâià.
fait a=5o“, ce qui donne cas on autA
sin a5°=ïRt/(î — ji/-;), eico5 25»=Rw^(f+-iv^-i).
sxi. On peut aussi avoir les valeurs de sinx c et co/f a exprimées ]iar le moyen de un a, ce qui sera utile dam beaucoup d'occasions; ces valeurs sont :
f//i7a = -jt/(R* -1-Rxi/i a) — 7V/'( R * — R/m aj C0/7 az=7V^( R* -j-Rrm a)-+-fl/ (R ' — R«/i «).
En effet , si on élève la première au quarré , on aura xûi * -i a ■=-r(R*+ Rxmn) + V (R’ — R xfna) — — R* sin’ à) =7 R’ — 7 R cos a; on aurait de mémecox* 7<i=S7 R’+^R eos a, ce qui s’accorde avec les valeurs précédentes de x(/i7 a et COX7 a. Il faut cependant observer que, si cos a était négatif, le radical (R’ — R sin a) devrait être pria avec un signe contraire dans les valeurs de /ÙI7 a et cos-^a, ce qui changerait l'une dans l'autre.
XXII. An moyen de ces formules, U est facile de déterminer les sinus et cosinus de tous les dixit'anes du quadrant.
Et d’abord soit sin to’=x, sx sera la corde de 40*, ou le cèlé du décagone régulier inscrit; or ce c6té est égal au plus grand segment du rayon divisé en moyenne et * 5 , 4. extrême raison *; donc si on fait le rayon égal = i , on aura 1 :ax :: ax; i — ax. Delàontire 4 x*=i— ax, oux'-l-lxs^; donc (x-|-j)*=-j-|-77=-;V» *-f-7=fi^5,'et enfin
xou XM ao”= j( — I 5 ).
Cette valeur , élevée au quarré, donne xûi* ao*=-
donc 1 — xûi'ao*, oncox' ao*= —
io+*\/S
Mais eos'a—sin’a
= eos an, donc eos 40' on sût 60*=
Maintenant, si dans les formules dun” xxi on fait R:=x, tf =r ao*, et xiii «=7( — i +;/ 5 ), on en déduira
sin io*=jv /(3 + v/ 5 ) — It/( 5 — v/ 5 ) cos io* = ^i/(3+i/5)+7^/(5 — ^^ 5 ).
Si ensuite on fiait dans les mêmes formules a=6o*, et ifii «=;^ ( 1 +V/ 5 ) , on aura
tàiootfoMitiiit. 3SS i
sin So*=-Jv/(5 + i/5) — il/ (3 — i/ 5 eo/3o*=ii/(5-|-i/5)4-ii/(3 — 1/5).
Avec ces valeurs et celles qu’on connaît d^a de tin 5o, et de tin loo*, on peut former le tableau suivant : lia o* = cox ioo*=o.
tin io*=cof 90*=:ii/(3 + v/ 5) — il/(5 — rm ao*=:coj 8o* = ^( —
«■/I 3o*=cos 7o*=ii/(5-f-v/5) — iV/(3 — 1/5) tin ^o‘—cof 6o*=iv/'( lo — av/ 5)
«Vi 5o*=co» 5o*=-j^/a ri'/i 6o*=co/ 4o*=i(t -l-i/ 5)
tin ']o’=zcot 3o* = ii/(5-l-i/ 5)-f-ii/'(3 — /
tin 8o*=co» ao*=iv/(io-l-av/5) r//i 90* = cor io* = il/(3 + ^/' 5 +il/(5 — 1/5) tinioo'=cot o'—i.
Ces valeurs peuvent se simplifier encore, puisqu'on a l/(3-H/5)=iv/io+7l/aeti/(3— i/5)=il/io — il/ ai d’on l’on voit qn’en regardant comme connues i^^ a, i/ 5 e^ T
l/' I o , il ne reste qne quatre extractions de racines quarrées à faire pour avoir les valeurs des sinus et cosinus de tous les arcs multiples de lo*.
xxiii. ?lous tirerons de ces formules deux conséquences remarquables. Puisque a /in 40* est la corde de 80*, ou le cdtédu pentagone régulier inscrit, cecôté=ii/(io— ai/S)»
son quarré = Le cAté du décagone régulier
=i7.tin ao*=f( — 1-1-1/ 5), son quarré ( 6 — ai/5);or ^(10 — t\/5)=i-|-i(6 — a v/ 5). Hoac ta tomme faite du quarré du rayon et du quarré du côté du décagone , est égale au quarré du pentagone régulier inscrit.
a° Entre les sinus des divisions décimales impaires du quadrant, on a cette relation ^
tin go’-p/in 3o*-f-/i/i io*=/i/i 5o*-|-/in 70*, et les divisions paires donnent semblablement sin 6o*= * »
tin ao*-t— ;. Mais ces formules ne sont que des cas parlicu- - ■ tiers, et on peut démontrer que/* étant un arc d’un nombre quelconque de degrés , on a
/Mi(ioo*-Æ’)-|-ti/»fao*-l-r)-f-.fiii(ao* — jr)=ï/iii(6o*— r)-|-/»/f(6o*-f *).
ad.
356 thigosombtbi*.
En effet, la fomiole«/i +
donne '
(ao*+x) + ««(ao'-x)-axi«>o CO#*
xm(6o’ + *) + ««(6‘>*—
Donc, puisqu’on a sin 6o' —sm ao — de
x,«(loo-— *), ces deux équations retranchées lune de
l’autre, donneront v ^
«*(6o*+x)+xm(6oW)-x.«(ao-H^)-W/.(ao-^)=:x«.Ctoo-*).
Formule d’où l’on tire l’éqnation des divisions impaires en . ■ ■ faisant *= lo” , et qui en général peut servir a la vénBca-
tion des tables de sinus.
XXIV. Si dans les formules première et troisième ' de l’article xix , on fait = a o , on aura
- sifi 9 sin a*
Hn 3 a
.imacosa^costastna —
^ ,COXD R
Substituant dans celles-ci, au lieu de swaa et eos afl, les valeurs trouvées dans larücle xx, et simplifiant les résultaU au moyen, de l’équation rm * n -F- cos’ a = R ’ 1 O"
^ stn^ a
sirt 3 a = 3 sin a - ^ cos' a
COS û ■ ~n t
■ 3 cos a.
! Ces formules qui servent à la triplication des arcs , peuvent servir aussi à opérer leur trisection ou division en trois parties égales. En effet, si on fait '' sin 3 a=c et sin a = x,on aura pour déterminer a: l’équation c R’ = 3 R’ x~4 D’où l’on voit que le problème de la trisection de l’angle, considéré analytiqueinent, est du troisième degré.
Si dans les mômes formules de l’article xix , on fait successivement b = 3 a, b = 4^> etc., on aura les sinus et cosinus des arcs4 o, 5 a, etc.; c est-à-dire, 'en général, les sinus et cosinus des multiples de a, » ' Réciproquement les formules qui servent à la multi- ' • plicaüon des arcs , donneront les équations à résoudre pour diviaer un arc donné en parties égalés;
i»ioono***mb. 357
c’est-à-dire, pour déterminer sin a o\x cos a, lorsqu’on connaît sin n a et cos n a.
XXV. Développons encore les valeurs de 5 a et cor 5 a, et pour cela prenons les formules
sin 3 a cos a a -f" ^os 3 a sin a a x/a (3a-|-aa)= ^
cos 3 a cos a a-^^sin 3 a /fa a a co/(3 a-}-*a) = ' ' ^ '
Si on y substitue les valeurs déjà trouvées art. xx et xxiv, on aura , après les réductions ,
ao/<a* a iS sin* a
1 sin 5 a=iS sin a — 1 ig";
ao cos* a i6 cos* a
co/ 5 a = 5 CO/ a— — H
D’on l’on voit que le problème de la quintisection de l’angle serait du cinquième degré, et ainsi des autres divisions par les nombres premiers 7, u, i 3 ,etc.
XXVI. Soit proposé pour exemple de trouver la valeur de sin i* approchée jusqu’à quinte décimales, ce qui peut être utile pour la construction des tables de sinus. D expression de sin 10°, trouvée n" xxu, étant réduite en décimales dans la supposition de R=i, donne sin 10 =0. i 5643 44660 4oa3i; de là on tire, parla fonnnledu n®xxi, sin 5 “=o. 07845 90967 a7846.
Soit maintenant sin l’ — x, il faudra, pour avoir x, résoudre l’équation
I 16 jf’ — aoj;*-t- 5 *=0.07845 90967 17846.
Si, pour abréger, on fait le second membre = c, ou aura à-peu-près 6* — ao*’=c, et x=-jc-l-4(7c)’* Of 7'-'= 0.01669 18191 et 4 (-je)’ =0.00001 6466} donc on a, pour première approximation, *=0.01670 7176, valeur qui n’est en erreur que dans la huitième décimale.' Pour en avoir une pins exacte, soit * = 0.01670 76 +jr, on aura, en substituant dans l’équation proposée , et négligeant le quarré et les autres puissances de^, <3.
0. 0784590094 a49a7-t-4.985aoi 77=0.078469095717846; d’où l’on tire y = 0.00000 00178 118207 , et »
358 ' TKieoKOM^TSt*.
^ r ou «/I i*=o. 01670 78173 Il8t07,
Du siniii de 1* ou 100', ou déduirait serablablemeiil 1 rs ’ 'linusde 5 o', de 10', de 5 ', et enfin celui de 1'.
XXVII. Les formules de l'article xix fournissent un grand nombre de conséquences, entre lesquelles il suffira de rapporter celles qui sont de l’usage le plus fréquent. Qn en tire d’abord les quatre suivantes :
sinacosb = !i\\. sin (a + A) -f- 7 R «« (a — b) sinbcosa={Ksin{a-i-b) — iRsia^a — b) cosacos b=^^ cos {a — A) -f- i R «m (a-J-i) sinasin b = ~1\cos (a — b) — ^Rcos (a-H*) lesquelles servent à changer un produit de plusieurs sinus ou cosinus, en sinus et cosinus linéaires ou multipliés seulement par des constantes.
XXVIII. Si dans ces formules on fait a b=p, a — b = q, ce qui donne a= ^^^ , b= ^ -^ ^ ~, on en déduira
> finp-\-tinq= — siH\(^p-^q)cos^{j>—^)
stnp-^stnq^ — Min^{p—q)eot\{p + q) -
cosp-^-eosq = —cot^{p+q)cof^{p — q)
cosq—cosp= — sin i (/» + ç) tin i (y, y).
Nouvelles formules qu’on emploie souvent dans les calculs trigonométriques pour réduire deux termes à un seul.
xxix. Elnfin , de ces dernières on tire encore par la division, et ayant égard à ce que lîÜJ? —
