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courbe AFB , sans quoi il y aurait dans l'une ou dans Vautre des points inégalement éloignés du centre , C9 c[fii est contre la définition du cercle.
PROPOSITION II
THEOAEMB»
Toute corde est plus petite que le diamètre.
Car si aux extrémités de la corde ÂD on mené les fig. 4^^ rayons AC , CD , on aura la ligne droite AD < AC + CD,ouAD<AB.
Corollaire. Donc la plus grande ligne droite qu^on puisse inscrire dans un cercle est égale à son diamètre.
PROPOSITION III
THEOREME.
Une ligne droite ^ne peut rencontrer une circonférence en plus de deux points.
Car si elle la rencontrait e;i trois , ces trois points seraient également distants du centre ; il y aurait donc trois droites égales menées d'un même point sur une même ligne droite , ce qui est impossible ^ ' *?'• ^^*
PROPOSITION IV
THEOREME.
Dans un même cercle ou dans des cercles égaux ^ les arcs égaux sonVsous-tendus par des cordes égales , et réciproquement les cordes égales sous'tendent des arcs égaux,
' Le rayon AC étant égal au rayon £0 , et lare AMD fig. 504 gai à Tare ENG ^ je dis que la corde AD sera égale à I corde EG.
^ 6BOMÉTRIR.
Car le diamètre AB étant égal au diamètre EK , U demi- cercle AMDB pourra sappli(|ucr exactement sur ' le demi-cercle ENGF , et la ligne courbe AMDB coïih
cidera entièrement avec la ligne courbe ENGF. Mais X)n suppose la portion AMD égale à la portion ENG ; donc le point D tombera sur le point G \ donc la corde AD est égale à la corde EG.
Réciproquement, en supposant toujours Iç rayon AG=EO , si la corde AD=EG , je dis que Tare AMD . sera é^al à l'arc ENG.
Car en tirant les rayons CD, OG, les deux triangles ACD^ EOG , auront les trois côtés égaux chacun à chacun, savoir, AC=EO , CDznOG, et AD= *ii, EG ; donc ces triangles sont égaux*; donc rangle ACD=EOG. Mais en posant le demi-cercle ADB sur son égal EGF /puisque l'angle ACDzzzEOG, il est clair que le rayon CD tombera sur le rayon OG , et le point D sur le point G \ donc l'arc AMD est égal à Tare ENG.
PROPOSITION V
TH£OR£MX.
Dans le même cercle ou dans des cercles égaux ^ Un -plus grand arc est sous - tendu par une plus grande corde , et réciproquement^ si toutefois les aras dont il s'agit sont moindres qu'une ilemi*circonférence.
Car soit l'ave AH plus grand que AD , et soient menées les cordes AD, AH , et les rayons CD, CH; les deux côtés AC, CH, du triangle ACH som égaux aux deux côtés AC, CD , du triangle ACD : l'angle ACH est plus grand que ACD \ donc * le troisième côté AH est plus grand que le troisi^ne AD 5 donc^ la corJe qui sous-tG3»d le {ilus grand arc est la pluà
Réciproquement, si la eorde AH est supposée plus grande que AD , on conclura des mêmes triangles que 1 angle ACH est plus grand que ACD, et qu'ainsi Tare AH est plus grand que AD.
Scholie, Nous supposons que les arcs dont il s'agît sont plus petits que la demi - circonférence. S'ils étaient plus grands, la propriété contraire animait lieu; Tare augmentant, la corde diminuerait, et récipro-. «quement : ainsi i«rc AKBD étant plus grand que AKBH , la corde AD du premier est plus petite qu« la corde AH du i^econd.
PROPOSITION YL
TlïiORÊaiB.
Le rayon CG, perpendiculaire à une corde %• :a AB, divise cette corde et V arc sousteiidu AGB, clxacun en deux parties égales.
Menez les i^yons CA, CB; ces rayonfi sont, par rapport à la perpendiculaire CD , deux obliques égales ; donc ils s'écartent également de la perpendiculaire*^ ^ i^ i. doncAD=:=DB,
En second lieu , puisque AD=:DB y CG est une perpendiculaire élevéo sur le milieu de AB; donc * tout *x^, f, point de cette perpendiculaire doit être égalerncnt distant des deux extrémités A et B. Le point G est un de ces points; dxinc la distance AG=i=CG. Mais si la corde AG est égîje à la corde- GB, l'arc AG sera égal à Tare GB*; donc le rayon CG, perpendiculaire ii la ♦pr, î» corde AB, divise l'arc sous -tendu pajr cette corde en deux parties égales au point G.
Scholie, Le centre C , le milieu D de la corde AR, 6t le milieu G de l'arc sous -tendu par cette corde, sont trois points situés sur une même ligne perpendiculaire à la corde, Oi: il suffit de deux points pour
38 eÉoKÉTais.
déterminer la position d'une ligne droite; donc toate ligne droite qui passe par deux des points mentionnés , passera nécessairement par le troisième , et sera perpendiculaire à la corde.
Il s'ensuit aussi que la perpendiculaire élevée sur le milieu d^une corde passe par le centre et-Mr le milieu de Varc sous^tendu par cette corde.
Car cette perpendiculaire n'est autre que celle qui serait abaissée du centre sur la même cotde , puis^ qu'elles passent toutes deux par le milieu de la corde.
PROPOSITION VIL
THEO&EMB.
Ég.5a. Par trois points donnés. A, B, C, non en ligne droite y on peut toujours faire passer une circonférence y mais on n'en peut faire passer qu^une.
Joignez AB, BC, et divisez ces deux droites en deu parties égales par les perpendiculaires DE, FG; je dis d'abord que ces perpendiculaires se rencontreront en un point O,
Car les lignes DÉ^ FG, se couperont nécessairement si elles ne sont pas parallèles. Or supposons qu'elles fussent parallèles ; la ligne AB , perpendicu-
♦aî, 1. laire à DE, serait perpendiculaire à FG*, et l'angle K serait droit; mais BK, prolongement de BD, est différente de BF, puisque^les trois points A, B, G, ne sont pas en ligne droite; donc il y aurait deux perpendiculaires BF , BK , abaissées d'un même point
♦i5, r^ sur la même ligne, ce qui est impossible*; donc les perpendiculaires DE, FG, se couperont toujours en un poiîit O.
Maintenant le point O, comme appartenant à la perpendiculaire DE, est à égale distance des deux
* ï7 » X. points A et B * ; le même point O , comme appartenant
