SIXIEME CAS
Lxxxix. Etant donnés les trois angles A , B , on trouvera un côté quelconque y par exem- ? y le côté opposé à V angle A , par la formule.
ia=R 1/ Z' — ^Q^t(A+B+C)cq^4(B+C— A) \ \ sin B sin C •
)n peut remarquer que de ces six cas généraux trois derniers pourraient se déduire des trois pre- Ts, par la propriété des triangles polaires : de Jà qu'à proprement parler , il n'y a que trois cas érents dans la résolution générale des triangles ériques. Le premier cas se résout par, une seule logie , comme les triangles rectangles ; le troisième résout d'une manière presque aussi simple, au ^en des analogie de Néper. Quant au second, lige deux analogies ; et d'ailleurs, il admet quelfois deux solutions, tandis que le premier et le sieme n'en admettent jamais qu'une.
c. Pour distinguer dans le second cas si , pour des urs particulières données de A, a^ 6^ il y a deux
43o TRIGOHOlfBTRIB.
Or puisque 17?^ ao<f , on a cas a Ç.= cos (ioo* — i5f)îJ JH — cos i5 9, cor 4 9 = «^(200' — 139)= — cos i3f ,rf ainsi de suite jusqu*à cos 169^ — cos 9- Donc ' 1^
rf«w 9=*— î» <^oj 1 59— a co* 1 3 9— a cor 1 1 9—— a cof 39-<»î on aPcox9= I +cor9— 2P,ou aP(n-cw 9) = '+«*!' Donc F =4.
Cela posé , je partage la somme des termes qui co mp oial P en deux parties , sayoir :
x = cos 39 + «w 59 + <^os 79 + c^^ ^ * ?
y = cos 9 + cos 99 + cos 1 3 9 + cos i5 9- Paurai donc d^abord or -V-jrnri; je multiplie ensuite ks quatre termes de jc par les quatre termes de r^ et diageant les produits de cosinus en cosinus d^arcs simpksi j'obtiens , toutes réductions faites ,
jrr= a ^cox a 9 +«'* 4 9 + ^0^^ 9 "• + *"* *^î) ou JT rz=. — a \cos i5 9 + «» i3 9 + «'' *i 9--+<^^l ou enfin jtyzzz — i .
Au moyen de ces équations on trouTe
Blain; «laut si Ton partage de nouveau les sommes x et jr
cLacune en deux parties , savoir :
,r z^ s-\- t rzizu-{-z
s z=z ccis 3 9 "h *"'-"^^ 5 ? « ■=: cos 9 + cas 1 3 9
/ z= oo.'f 7 '^-^cx< 119 zzzi cof 9 9 -J- cos 1 s 9»
on trouvera seniblabîenicat
De sorîe qu'on pourra dcterminer les quatre nombres s ,t, », 5 • à r^i-îe de deux nouvelles équations du second degw-
Entln cor.na:>ian: tVo 9-|-t''j^ i3 9=^*' *^ cos ^ cjisil'i = V iv> 1^9-4- «^■-"*' 1 4 9 = — T '-'«^ 3 ^ + co> 5 ^' = — 7^ » on obiicndri , ; mv une quatrième êqua* ion du second degré, la '«^alcur de v\'s> 9 « et de la celle du côté du polygone propose , laquelle est 2 y:7 9 or: a^ i — cos' 9 -
Quà:;î à la mcthoàe qui a dirigo le partage de ces diverses i\;i:atioKS , elle tic::: a une théorie très -délicate, fondée sur rauaSse indctctmliiêt: « et dont il faut voir k deve!opp^'n\v ::t dii^s rouira ^e môme de Gauis, oa dtf»
TaiGONOMÉTRIB. 4^1
sai sur la théorie des nombres , deuxième édition. On y rouvera la démonstration complète de ce théorème trèseau et très-général :
« Si le nombre n est premier , et que /t -» i résulte du
yroduit des facteurs premiers a* 3 5 , etc. la division du cercle en n parties égales pourra toujours se réduire à la résolution de a équations du deuxième degré , g du troisième , y du cinquième , et ainsi de suite ».
