TS£OR£ME

Deux cordes égales sont également éloignées du centre; et de deux cordes inégales^ la plus petite' est la plus éloignée du centre.

i^ Soit la corde AB==DE : divisez ces cordes en fig. 5J deux également par les perpendiculaire^ CF, GG, et tirez les rayons CA^ CD.

Les triangles rectangles CAF; DCG, ont les hypoténuses GA , CD , égales ; de plus le côté AF

^O €ÉOXBTmîC.

moitié de ÂB^ est ^al au côté D6, moitié de DE;

*iS, X. donc ces triangles sont égaux ^, et le troisième côté CF est égal au troisième G6; donc, i"" les deux cordes égales AB, DE, sont é|;alement éloignées du entre.

t!* Soit la corde AH plus grande que DE, l'arc

•f-^ AKH sera plus grand que Tare DME*: sur lare AKH prenez la partie ANB=DME, tirez la corde AB, et abaissez GF, perpendiculaire sur cette corde » et ci, perpendiculaire sur AH;ti1 est clair que CF »•> x« est plus grand que CO, et CO plus grand que CI*, donc à plus forte raison CF>CI. Mais CF=CG, puisque les cordes AB, DE, sont égales; donc on a CG > GI ; donc de deux cordes inégales la plus petite est la plus éloignée du centre.

PROPOSITION IX

THionÊME.

fig. 54. La perpendiculaire BD, menée à textrémité du rayon CA , est une tangente à la circonfèrence.

Gar toute oblique CE est plus longue que la per-

•16, 1. pendiculaire CA*; donc le point E est hors du ceixlei donc la ligne BD n'a que le point A commun avec la

•dcf.8. circonférence; donc BD est une tangente *.

Scho/ie, On ne peut mener par un point donné A qu'une seule tangente AD à la circonférence ; car si on en pouvait mener une autre, celle-ci ne serait plus perpendiculaire au rayon CA ; donc , par rapport à cette nouvelle tangente , le rayon C A serait une oblique, Cl la perpendiculaire, abaissée du centre sur cette tangente, serait plus courte que CA; donc cette prétendue tangente entrerait dans le cercle, et serait une Wcantè.

LITRC II." 4l

PROPOSITION X

TR£ORÊM£.

Deux parallèles AB , DE , interceptent sur la Cg. aa Mrcanférence des arcs égaux MN, PQ..

Il peut arriver trois cas.

I** Si les deux parallèles sont sécantesi, menez le rayon CH perpendiculaire à la corde MP, il sera en même temps perpendiculaire à sa parallèle NQ *; donc * a3, u le point H sera à-!a-fois le milieu de Tare MHP et celui de lare NHQ*; on aura donc lare MH=:HP, *^et l'arc NH=HQ: de-là résulte MH— NH=HP —HQ, c'est-à-dire MN=PQ.

a** Si des deux parallèles AB, DE, Tune est se- «g .^ cante, l'autre tangente; au point de contact II mené» le rayon CH; ce rayon sera perpendiculaire à la tangente DE*, et aussi à sa parallèle MP. Mais puisque * %- CH est perpendiculaire à la corde MP, le point H est le milieu de lare MHP; donc les arcs MH, HP, compris entre les parallèles AB , DE, sont égaux.

3" Enfin si les deux parallèles DE, IL, sont tangentes, l'une en H, l'autre en K, menez la sécant» parallèle AB, vous aurez, par ce qui vient d*être <lémontré, MH=HP et MK=KP5 donc l'arc entier HMK=HPK , et de plus on voit que chacun dç ces wcs est une demi-circônféi'ence.

PROPOSITION XL

TUBOREMC.

Si deux circonférences se coupent en deux 'points, la ligne qui passe par leurs centrés sera perpendiculaire à la corde qui joint les points d^ intersection^ et la diviseja en deux parties égales.

4^ eÉOMBT&IE.

^S si. ^^ ^* ^^ ^ï î^ i^^^*^^ ïes points d'intewectloft, est une corde commune aux deux cercles. Or si sur le milieu de cette corde on élevé une perpendicuiaire, ♦ 6. elle doit passer par chacun des deux centres C et D*. Mais par deux points donnés on ne peut mener qu'une seule ligne droite; donc la ligne droite, qui pa^ par les centres, sera perpendiculaire sur le milieu de la corde commune.

PROPOSITION XII

THEOREME. >

Si la distance des deux centres est plus courte

que la somme des rayons ^ et si en même temps

le plus grand rayon est moindre que la somme

du plus petit et de la distance des centres ^ les

deux cercles se couperont.

fig. r^^ Car pour quil y ait lieu à intersection, ^1 faut qu«

le triangle CAD soit possible : il faut donc non seu-

£".57. Iciïient que CD soit <AC+AD, mais aussi que le

|Bg. 58. P^^^ grand rayon AD soit <AC4-CD. Or, toutes les

fois que le triangle CAD pourra être construit , H est

clair que les circonférences décrites des centres C et

D , se couperont en A et B.

PROPOSITION XIII

fig 5p. Si la distance CD des centres de deux cercles est égale à la somme de leurs rayons CA , AD , ces deux cercles se toucheront extérieurement.

Il est clair quHls auront le point A commun ; mais ils n'auront que ce point; car, pour qu'ils eussent deux points communs, il faudrait que la distance des centres f&t plus petite que la somme des rayons.

IiIYRB II. 43

PROPOSITION XIV

THEOREME.

Si la distance CD des centres de deux cercles %• ^ M égale à la différence de leurs rayons Cx\, AD, *.es deux cercles se toucheront intérieurement*

D'abord il est clair qu'ils ont le point A commun : Is n'en peuvent avoir d'autre; car pour cela il fau- Irait que le plus grand rayon AD fût plus petit que la omme faite du rayon AG et de la distance des centres liD*, ce qui n'a pas lieu. " . * ï«-

Corollaire. Donc, si deux cercles se touchent , soit intérieurement, soit extérieurement, les centres et le point de contact sont sur la même ligne droite.

Scholie. Tous les cercles qui ont leurs centres siur ^^^\?f la droite CD, et qui passent par le point A, sont tangents les uns aux autres; ils n'ont entre eux que le seul point A de commun. Et si par le point A on mené AE perpendiculaire à CD, la droite A£ sera une tangente commune à tous ces cercles.

PROPOSITION XV

THEOREME.

Dans le même cercle ou dans des cercles égaux , ^s* ^^ les angles égaux ACB , DCE , dont le sommet est m centre , interceptent sur la circonférence des oTcs égaux AB, DE.

Réciproquement^ sixtes arcs AB, DE, sont égaux, les a/igles ACB, DCE , seront aussi égaux.

Car, I® si l'angle ACB est égal à l'angle DCE, ces deux angles pourront se placer l'un sur l'autre; et comme leurs côtés sont égaux, il est clair que le point A tombera en D, et le point B en E. Mais alors

À.i H^.OMÉTRtr.

r*rc AB Joit aussi tomber sur l'arc DE ; car si 1(S deux arcs n'éiaient pas confondus en un seul , il y aurait dans lun ou dans lautre de& points ir.'galement éloignés du centre , ce qui est iisipossible ; done rare AB=DE.

, 2^ Si on suppose AB=DEy je dis que' Tangh AGB sera égal à DGE; car si ces angles ne sont pas égaux, soit ACB le plus grand, et soit pris AGI=: 1)CE; on aura, par ce qui viçnt d'être démontré, AI rrzDE : mais, par hypothèse, Tare AB=DE5 donc on aurait AI=:AB, ou la partie égale au tout , ce ^ui est impossible 5 donc l'angle ACB=DCE.

PROPOSITION XVL

SHEOREMSU

*♦' Dans le même cercle ou dans des cercles egaux^ si deux angles au centre ACB, DCE, sont entre eux comme deux nombres entiers , les arcs inter^ ceptés AB , DE , seront entre eux comme les mêmes nombres , et on aura cette proportion:

Angle ACBrangle DCE: rare AB:arc DE.

Supposons, par exemple, que les angles ACB, DCE, soient entre eux comme 7 est à 4; ou, ce qui levient au même, supposons que l'angle M, qui servira de commune mesure, soit contenu sept fois dans Tangle ACB , et quatre dans Tangle^ DCE. Les anglus partiels ACz/a, wC/z, nCp^ etc. DCo:, xCj^^ etc*, étant égaux entre eux , les arcs partiels A/t^, mn^

*^ np^ etc., D^, xfy etc., seront aussi égaux entre eux*; donc Tare entier AB sera à Tare entier DE comme 7 est à 4- Or il est évident que le même raisonnement aurait toujours lieu, quand à la place de '7 et 4 on aurait d'autres nombres quelconques; donc, si le rapport des angles ACB, DCE, peut être, exprimé

LtVKX 11* . J&

en nombres entiers, les «ires AB, DE , seront entrfe eux comitie les attgles ACB , DCE. ^

Sehvlie, Réciproquement ^ si les arcs AB, DE, étaient entre eux comme deux nomhres entiers, les angles ACB ^ DCE , seraient entte eux comme les mêmes nombres , et on^ aurait toujours ACB : DCE : : AB : DE ; car les arcs partiels Am , mn , etc. , J^x , or^-, etc., étant égaux, les angles partiels AC/;^, mCrij etc., DC^, ^Ç/-, etc., sont aussi égaux.

PROPOSITION XVII

Quel que soit le rapport des deux angles ACB, fig. es. ACD, ces deux angles seront toujours entre eux comme les arcs AB, AD , interceptés entre leurs <ôtès et décrits de leurs sommets comme centres avec des rajons égaux.

Supposons le plus petit angle placé dans le plus grand: si la proposition énoncée n a pas lieu, langle ACB sera à Tangle ACD comme Tare AB est à un arc plus grand ou plus petit que AD. Supposons cet arc plus grand , t\ représentons-le par AO , nous aurons ainsi :

Angle ACB: angle ACD :: arc AB.arc AO.

Imaginons maintenant que lare AB soit divisé en parties égales dont chacune soit plus petite que DO , il y aura au moins un point de division entre D et O : soit I cepoint , et joignons CI ; les arcs AB , AJ , seront entre eux comme deux nombres entiers, et on aura en rertu du théorème précédent :

Angle ACB : angle AGI : : arc AB : arc AI.

Rapprochant ces deux proportions Tune de Tautre, jet observant que les antécédents sont les mêmes , on en conclura qu^ ]#5 conséquents sont proportionnels»

46 ciov.iTh.tt.

A ngle ACD : angle AGI : : arc AO : arc AI.

Mais Tare AO est plus grand que lare AI: il faudrait donc , pour que la proportion subsistât , que Tangle ACD fût plus grand que l'angle AGI; or au contraire il est plus petit ; donc il est impossible que langle ACB soit à langle ACD comme Tare AB est à un arc plus grand que AD.

On dépiontrerait par un raisonnement entièrement semblable que le quatrième terme de la proportion ne peut être plus petit que AD ; donc il est exactement AD; donc on a la proportion :

Angle AGB: angle ACD :: arc ABrarc AD.

Corollaire, Puisque l'angle au centre du cercle et Tare intercepté entre ses côtés ont ime telle liaison que quand lun augmente on diminue dans un rapport quelconque , Tautre augmente ou diminue dans le même rapport , on est en droit d'établir l'une de • ces grandeurs pour la mesure de l'autre : ainsi nous prendrons désormais l'arec AB pour la mesuré de l'angle ACB. Il faut seulement x)bserver, dans la comparaison des angles entre eux^ que les arcs qui leur servent de mesure doivent être décrits avec des rayons égaux ; car c'est ce que supposent toutes les proposl*tions précédentes.

Scholie I. Il paraît plus naturel de mesurer une quantité par une quantité dé la même espèce, et sur ce principe il conviendrait de rapporter tous les angles à l'angle droit : ainsi l'angle droit étant l'unité de mesure , un angle aigu serait exprimé par lin nombre compris entre o et i , et un angle obtus ]:ar un nombre entre i et 2. Mais cette manière d'exprimer les angles ne serait pas la plus commode dans l'usage ; on a trouvé beaucoup plus simple de les mesurer par des arcs de cercle, à cause de la facilité de faire des arcs égaux à des arcs donnés , et pour . beaucoup d'autres raisons. Au reste, si la mesure de«