LIVRE II

angles par lés arcs de cercle est en quelque sorte indirecte , il n en est pas moins facile d'obtenir par leur moyen la mesure directe et absolue ; car si vous comparez Parc qui sert de mesure à un angle avec le quart de la circonférence , vous aurez le rapport de Tangle donné à langle droit, ce qui est la mesura absolue.

Scholte II. Tout ce. qui a été démontré dans les trois propositions précédentes pour la comparaison des angles avec les arcs , a lieu également pour la comparaison des secteurs avec les arcs : car les secteurs sont égaux lorsque les angles le sont, et fsn général ils sont proportionnels aux angles; donc deux secteurs ACB , ACD, pris dans le même cercle ou dans des cercles égaux , sont entre eux comme les arcs AB , AD y hases de ces mêmes secteurs.

On voit par-là que les arcs de cercle qui servent I de mesure aux angles peuvent aussi servir de mesure ! aux différents secteurs d'un même cercle ou de cercles égaux,

PROPOSITION XVIII

THEOREME.

V angle irSirit BAD a pour mesure la moitié de Tare BD compris entre ses côtés. ef os*

Supposons dabord que le centre du cercle soit situé dans l'angle BAD, on mènera le diamètre AE et les rayons CB , CD. L'angle BGE , extérieur au ^8triangle ABC, est égal à la somme des deux intérieurs CAB^ ABC* : mais le triangle BAC étant isoscelci l'iuigle CAB=ABC; donc Fangle BCE est double *aJ,u de BAC. L'angle BGE ^ comme angle au centre, a pour mesure lare BE ; donc langle BAC aura pour mesure la moitié de B£. Par une raison semblable, ^^

4'8 cbombtriCa

langle GAD aura pour mesure la moitié de ED; done BAC+CAD ou BAD aura pour mesure la moitié de BE+ED ou la moitié de BD.

fig. 63. Supposons en second lieu que le centre G soit situé hors de langle BAD , alors menant le diamètre AE, Tangle BAE aura pour mesure la moitié de BE, Tangle DAE la moitié de DE; donc leur différence BAD aura pour mesure la moitié deBE moins la moitié de ED , ou la moitié de BD.

Donc tout angle inscrit a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés.

%. cd, . Corollaire I. Tous les angles BAG, BDG, etc.,iii5* crits dans le même segment sont égaux^ car ils ODt pour mesure la moitié du même arc BOG.

«g. 67. II. Tout angle BAD inscrit dans le demi -cercle est un angle droit ; car il a pour mesure la moitié de la demi*cir€onférence BOD , ou le quart de h circonférence.,

Pour démontrer la même chose dune«autre ma* niere , tirez le rayon AC ; le triangle BAG est iso» scele , ainsi l'angle BAC = ABC; le triangle GAD est pareillement isoscele ; donc langle GAD = ADC; donc BAC -f. CAD ou BAD = ABD + ADB. Mais si les deux angles B et D du triangle ABD valent en- \ semble le troisième BAD, les trois a||[les du triangle vaudront deux fois l'angle BAD ; ils valent d'ailleurs deux angles droits ; donc l'angle BAD est un angle droit.

/;;- 66. m. Tout angle BAC inscrit dans un segment plus fjrand que le demi-cercle , est un angle aigu; car il % pour mesure la moitié de l'arc BOC moindre qu'une demi -circon f éren ce.

Et tout angle BOC , inscrit dans un segment phiS petit que le demi-cercle, est un angle obtus ; car il a pour mesure la moitié de l'arc BAC plus grande qu une demi*circonférence.

LIYAS If. 49

IV. Les angles opposés A et C d'un quadrilatère «g. «•* inscrit ABCD, valent ensemble deux angles droits ; car l'angle BAD a pour mesure la moitié de Varc BGD ^ l'angle BCD a pour mesure la moitié de Tare BAD; donc les deux angles BAD, BCD, pris ensemble, ont pour mesure la moitié de la circonférence; donc leur somme écpiivaut à deux angles droits.

PROPOSITION XIX

THÉORBME.

V angle BAC , formé par une tangente et une corde ^ a pour inesure la moitié de Varc AMDC compris- entre ses côtés.

Au point de contact A menez le diamètre AD; Fangle BAD est droit ^, il a pour mesure la moitié de ^ la demi-circonférence AMD, FangleDAG a pour mesure la moitié de DG ; donc BAD + D AG ou B AG a pour mesure la moitié de AMD, plus la moitié 4e DG, ou la moitié de l'arc entier AMDC.

On démontrerait dé même que Tangle GAE a pour mesure la moitié de l'arc AG compris entre ses côtés.

Problêmes relatifs aux deux premiers livres.

PROBLEME PREXIER.

Diviser la droite donnée AB en deuoç parties b-. ^^ égales.

Des points A et B , comme centres , arec un rayon plus grand que la moitié de AB, décrivez deux arcs qui se coupent en D ; le point D sera également éloigné des points A et B : marquez de même au-dessus

Onz, éd. ^

So * GSOMETaiE.

OU au-dessous de la ligne AB un second point E ê^ lement éloigné des points A et B , par les deux points D, E, tirez la ligne DE; je dis que DE coupera la ligne AB en deux parties égales au point C.

Car les deux points D et E étant chacun également éloignés des extrémités A et B , ils doivent se trouver ] tous deux dans la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB. Mais par deux points donnés il ne peut passer qu une seule ligne droite ; donc la ligne DE sera cette perpendiculaire elle-même qui coupe la ligne AB es deux parties égales au point C.

PROBLÈME II

H' 7»- Par un point A , donné sur la ligne BC, élever une perpendiculaire à cette ligne.

Prenez les points B et G à égale distance de A, ensuite des points B et C , comme centres , et d un^ rayon plus grand que BA, décrivez deux arcs qui se coupent en D ; tirez AD qui sera la perpendiculaire demandée.

Car le point D , étant également éloigné de B et de C 5 appartient à la perpendiculaire élevée sur le milieu de BG ; donc AD est cette perpendiculaire.

Scholie. La même construction sert à faire un angle droit BAD en un point donné A sur une ligne donnée BG.

PROBLEME III

«g 72. D'un point A , donné hors de la droite BD, abaisser une perpendiculaire sur cette droite.

Du point A, comme centre, et d'un rayon suffisamment grand, décrivez un arc qui coupe la ligne ]^D aux deux points B etD; marquez ensuite un point E également distant des points B et D, et tirez AE qui \ sera la perpendiculaire demandée.

C^r les deux points A et E so^t chacun également