LIVRE III

pendiculaire EF qui mesure la distance des deux côtés fig. 9B.

opposés AB, CD, pris pour bases.

' V. La hauteur d un triangle est la perpendiculaire

AD, abaissée du sommet d'un angle A sur le côté op- £g. (^4.

posé BC pris pour base.

VI. La hauteur du trapèze est la perpendiculaire fig. 95. EF menée entre ses deux côtés parallèles AB, CD.

VII. Uaire ou la surface d une figure sont des termes à-peu-près synonymes. Laire désigne plus particulièrement la quantité superficielle de la figure en tant qu'elle est mesurée ou comparée à d autres surfaces.

N. B. Pour l'intelligence de ce livre et des suivants, il faut avoir présente la théorie des proportions, pour laquelle nous renvoyons aux traités ordinaires d'arithmétique et d'algèbre. Nous ferons seulement une observation, qui est très importante pour fixer le vrai sens des propositions, et dissiper toute obscurité, soit dans Ténoncé, soit dans les d émonstrations.

Si on a la proportion A:B :: C!D, on sait que le produit des extrêmes A XD est égal au produit des moyens BxC.

Cette vérité est incontestable pour les nombres; elle l'est aussi pour des grandeurs quelconques , pourvu qu'elles s'expriment ou qu'on les imagine exprimées en nombres ; et c'est ce qu'on peut toujoius supposer : par extum^ , si A, B , C , D , sont des lignes , on peut imaginer qu'une de ces quatre lignes, ou une cinquième , si l'on veut , serve à toutes de commune mesure et soit prise pour unité ; alors A , B , C , D représentent chacune un certain nombre d'unités , entier ou rompu , commensnrable ou incommensurable , et la proportion entre les lignes A, B, C, D, devient une proportion de nombres.

Le produit des lignes A et D , qu'on appelle aussi leur rectangle , n'est donc autre chose que le nombre d'unités, linéaires contenues dans A , multiplié par le nombre d'unités linéaires contenues dans B ; et on conçoit facilement que ce produit peut et doit être égal à celui qui résulte sembla- Uement des lignes B et C.

63 GkO»KTIlIC.

Les ^andpiir.t A et B pcuient être d'une espèce, par f\rmpli' , (les liiinrs. rt lo* grandeur;! C et D d'une autre rspcce, par e?4'iiii>lr, des surfaces; alors il faut (onjounn- ^;ir[lcr ces granileurs couime des nombres : A et B s'espniniTOiit en unitt-s linéaires, C et D en unités soperficielles, rr te produit A xUicra un nombre comme le produit BxC

i'.a p.'^ni'ral , dans toutes les opérations qu'on fera sur \tt pinpoitiiius. il faut toujours regarder les termes decesprop'irùoiis (.-omme autant dénombres, ebacun de l'espèce qui lui ronTieut, et unu'auraaueune peine à concevoir ces op^ râlions et les conséquences qui en résultent.

Nous devons avertir aussi que plusieurs de nos démoiuti'ntions sont fondées snr quelques-unes des règles les plu i-iinpies de l'algèbre, lesquelles s'appuyent elles-mêmes su les a\ii>mes connus : ainsi si l'on a A := B+C, et qu'on mol. tiplie chaque membre par une même quantité 31, on en io;u-IutAXMi=BxM-4-CxM; pareillement si Too aA= i\ + C et D^E — C. et qu'on ajoute les quantités égalet, eu efljçant -(-(^et — C qui se détruisent, on en condi^ A+^=B + E. et ainsi des autres. Tout cela est aSKi évident t>ar soi-même: mais, en cas de difficulté, il Kti biiii de con'ulter lr$ livres d'algèbre, et d'entre-méler aiaa r.iude des deux seienocs.

PROPOSITION PREMIERE

Les paraUèiofraiumes qui ont des bases égales ("/ tIfs /itii/ttiirs égales, sont équivalents.

Soit AB la base comiHune des deux parai lélogramn\\>s ABC'J), ABEF, puisqu'ils sont supposés avoir l& tnènie hauteur, les bases supérieures DC, FE, seront situées sur une même li^ne parallèle â AB. Or on a par la nature des parallélogrammes AD =BC, «AT = pEj par b même raison on a DC=:AB,etFE = ~ ' =F£; doQc,retrancliantDC etFEd»

t kl restes CE et DF seront égaœUt